高二不等式，求最大值最小值问题

Question

如题所述

Answer 1

1.
a>b>0,依基本不等式得
a+1/b(a-b)
≥a+1/[(b+a-b)/2]²
＝a+(4/a²)
＝(a/2)+(a/2)+(4/a²)
≥3·[(a/2)·(a/2)·(4/a²)]^(1/3)
＝3.
故所求最小值为3，
此时，a/2＝4/a²
即a＝2，b＝1.

3.
依基本不等式得
x²+y²≥2xy
→2(x²+y²)≥x²+2xy+y²
→2(x²+y²)≥(x+y)²
→(x+y)²≤2
∵x>0、y>0,
∴0<x+y≤√2.
∴所求最大值为：√2.

4.
依基本不等式得
f(x)＝3x+12/x² (x>0)
＝(3x/2)+(3x/2)+(12/x²)
≥3·[(3x/2)·(3x/2)·(12/x²)]^(1/3)
＝9.
故所求最小值为：9
此时3x/2＝12/x²→x＝2。