如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE交点O．

Question

如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE交点O．求证：（1）AD=BE；（2）BM=AN； （3）△MNC为等边三角形； （4）MN∥BD； （5）∠BOD=120° （6）CO平分∠BOD．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，

CA＝CB ∠ACD＝∠BCE CD＝CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，

∠ACN＝∠BCM CA＝CB ∠CAN＝∠CBM

，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM；
（3）∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形；
（4）∵△CMN为等边三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MN∥BC；
（5）∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BOD=120°；
（6）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CO平分∠BOD．