已知某商品的需求函数为Q=1000-100P,总成本函数为C=1000+3Q

Question

将利润表示为价格P的函数
求使利润函数增加的价格区间，并求最大利润
求当价格P=4时的需求弹性和收益对价格的弹性，并说明其经济意义

Answer 1

1、设利润为L
L=PQ-C
=P(1000-100P)-(1000+3Q)
=1000P-100P²-1000-3(1000-100P)
=1000P-100P²-1000-3000+300P
=-100P²+1300P-4000
即利润L=-100P²+1300P-4000
2、L=-100P²+1300P-4000
=-100(P²-13P)-4000
=-100(P-13/2)²-4000+100*169/4
=-100(P-6.5)²+225
开口向下，对称轴P=6.5，在对称轴的左侧，为增函数。
使利润增加的价格区间为：[0,6.5]
最大利润：当P=6.5时，最大利润为：Lmax=225
3、Q=1000-100P
dQ/dP=-100
需求弹性：-100*4/(1000-100*4)=-2/3，表示当价格为4时，需求相对于价格的变化为-2/3，价格增加1%，需求减少0.67%。
收益：PQ=P(1000-100P)
=1000P-100P²
d(PQ)/dP=1000-200P
收益弹性：(1000-200*4)*4/(1000*4-100*4²)=1/3，表示价格为4时，收益相对于价格的变化为1/3，价格增加1%，收益增加0.33%

Answer 2

总利润=总收入-总成本
列出来就是一个一元二次方程了，最终就是个求最值的问题啊。
令g（x）=Q*P- C，则有：利润表达式为：g（x）=（1000-100P）*P-[1000+3*（1000-100P）]
故有：g（x）=-100*P^2+1300P-4000，此时开口向上，有最大值，结合二次函数性质有：
在P=13/2时，利润g（x）最大。