(本题满分12分)如图,在Rt△ ABC 中,∠ ACB =90°,以 AC 为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D ,过点 D 作
(本题满分12分)如图,在Rt△ ABC 中,∠ ACB =90°,以 AC 为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D ,过点 D 作⊙ O 的切线,交 BC 于点 E . 小题1:(1)求证:点 E 是边 BC 的中点;(4分)小题2:(2)若 EC =3, BD = ,求⊙ O 的直径 AC 的长度;(4分)小题3:(3)若以点 O , D , E , C 为顶点的四边形是正方形,试判断△ ABC 的形状,并说明理由. (4分)
小题1:(1)证明:连接 DO , ∵∠ ACB =90°, AC 为直径, ∴ EC 为⊙ O 的切线, 又∵ ED 也为⊙ O 的切线, ∴ EC = ED . (2分) 又∵∠ EDO =90°, ∴∠ BDE +∠ ADO =90°, ∴∠ BDE +∠ A =90°, 又∵∠ B +∠ A =90° ∴∠ BDE =∠ B , ∴ EB = ED . ∴ EB = EC ,即点 E 是边 BC 的中点. 小题2:(2)∵ BC , BA 分别是⊙ O 的切线和割线, ∴ BC 2 = BD · BA , ∴(2 EC ) 2 = BD · BA ,即 BA · =36,∴ BA = , (6分) 在Rt△ ABC 中,由勾股定理得 AC = = = . 小题3:(3)△ ABC 是等腰直角三角形. (9分) 理由:∵四边形 ODEC 为正方形, ∴∠ DOC =∠ ACB =90°,即 DO ∥ BC , 又∵点 E 是边 BC 的中点, ∴ BC =2 OD = AC , ∴△ ABC 是等腰直角三角形. (12分)