如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE=CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；（3）若EC=4，BD=43，求⊙O的半径OC的长．
（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；
又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；
所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；
从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC=AB=2r，S△ABC=2r2；
（3）解：若EC=4，BD=4
，则BC=8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD=
=
；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，
=tan30°，即AC=BCtan30°=8×
=
，OC=
=
；
另解：设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4
得BC=8，DC=4；
则：
DE、CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；
又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；
所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；
从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC=AB=2r，S△ABC=2r2；
（3）解：若EC=4，BD=4
| 3 |
在Rt△BDC中，cos∠CBD=
| BD |
| BC |
| ||
| 2 |
在Rt△ABC中，
| AC |
| BC |
| ||
| 3 |
8
| ||
| 3 |
| AC |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
另解：设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4
| 3 |
则：
|
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