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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,E是BC的中点.(1)求证:DE是⊙O的切线;(
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,E是BC的中点.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)过点E作EF⊥DE,交AB于点F.若AC=3,BC=4,求DF的长.
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推荐答案 2014-10-06
(1)证明:连结OD,CD,
∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°,
∵E是BC的中点,
∴
DE=
1
2
BC=CE
,
∴∠1=∠2.
∵OC=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ACB=∠ODE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ODE=90°,
又∵OD是半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∴
cosB=
BC
AB
=
4
5
,
∵E是BC的中点,
∴
DE=
1
2
BC=BE=2
,
∴∠5=∠B,
∴
cos∠5=
DE
DF
=
4
5
,
∴
DF=
5
4
DE=
5
2
.
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