21.如图,在ABC中,A=60,BE,CF交于点P,且分别平分AABC,ACB.(1)求BPC的

Question

如题所述

Answer 1

如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．

（1）求∠BPC的度数；

（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．

解：（1）∵∠A＝60°，

∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝120°，

∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠ABE＝∠CBE＝
½∠ABC，

∠BCF＝∠ACF＝
½
∠ACB，

∴∠CBE＋∠BCF＝
½∠ABC＋
½∠ACB＝
½×120°＝60°，

∴∠BPC＝180°−（∠CBE＋∠BCF）＝180°−60°＝120°；

（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，

在△FBP和△QBP中，

∵BP＝BP

∠FBP＝∠QBP

BF＝BQ
，

∴△FBP≌△QBP（SAS），

∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，

∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，

∴∠AFP＋∠AEP＝360°−60°−120°＝180°，

∴∠BFP＋∠CEP＝180°，

∵∠CQP＋∠BQP＝180°，

∴∠CEP＝∠CQP，

在△CQP和△CEP中，

∵∠QCP＝∠ECP

∠CQP＝∠CEP

CP＝CP
，

∴△CQP≌△CEP（AAS），

∴EF＝QP，

∵FP＝QP，

∴FP＝EP，

∴△EFP是等腰三角形．