如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，连接AP．过点P作PF⊥AP，

Question

如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，连接AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF相交于点F．连接AF，与边CD相交于点G，连接PG．（1）求证：AP=FP；（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P与⊙G两圆的位置关系，并说明理由；（3）当BP取何值时，PG∥CF．

Answer 1

（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH=PC，连接PH，
由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD，
∵∠APF=90°，
∴∠APF=∠B，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，
∴∠PAH=∠FPC；
又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=135°；
又∵AB=BC，AH=PC，
∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°，
∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF；
在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，
∴△AHP≌△PCF，
∴AP=PF．

（2）解：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．
延长CB至点M，使BM=DG，连接AM，
由AB=AD，∠ABM=∠D=90°，BM=DG，
得△ADG≌△ABM，即得AG=AM，∠MAB=∠GAD；
∵AP=FP，∠APF=90°，
∴∠PAF=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAG=45°，即得∠MAP=∠PAG=45°；
于是，由AM=AG，∠MAP=∠PAG，AP=AP，
得△APM≌△APG，
∴PM=PG，
即得PB+DG=PG，（2分）
∴⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．（1分）

（3）解：由PG∥CF，得∠GPC=∠FCE=45°，（1分）
于是，由∠BCD=90°，得∠GPC=∠PGC=45°，
∴PC=GC．即得DG=BP．（1分）
设BP=x，则DG=x．由AB=2，得PC=GC=2-x，
∵PB+DG=PG，
∴PG=2x．
在Rt△PGC中，∠PCG=90°，得sin∠GPC＝

CG

PG

＝

2

2

．（1分）
即得

2?x

2x

＝

2

2

，
解得x＝2

2

?2，（1分）
∴当BP＝(2

2

?2)时，PG∥CF．（1分）

Answer 2

（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH=PC，连接PH，
由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD，
∵∠APF=90°，
∴∠APF=∠B，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，
∴∠PAH=∠FPC；
又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=135°；
又∵AB=BC，AH=PC，
∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°，
∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF；
在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，
∴△AHP≌△PCF，
∴AP=PF．
（2）⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．
延长CB至点M，使BM=DG，连接AM，
由AB=AD，∠ABM=∠D=90°，BM=DG，
得△ADG≌△ABM，即得AG=AM，∠MAB=∠GAD；
∵AP=FP，∠APF=90°，
∴∠PAF=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAG=45°，即得∠MAP=∠PAG=45°；
于是，由AM=AG，∠MAP=∠PAG，AP=AP，
得△APM≌△APG，
∴PM=PG，
即得PB+DG=PG，
∴⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切
（3）由PG∥CF，得∠GPC=∠FCE=45°，
于是，由∠BCD=90°，得∠GPC=∠PGC=45°，
∴PC=GC．即得DG=BP．（1分）
设BP=x，则DG=x．由AB=2，得PC=GC=2-x，
∵PB+DG=PG，
∴PG=2x
在Rt△PGC中，∠PCG=90°，得sin∠GPC＝CG/PG=√2/2
即得2-x/2x=√2/2
x=2√2-2时PG∥CF