如图，已知边长为2的正方形ABCD，P是BC边上一点，E是BC边延长线上一点，过点P作PF⊥AP与∠DCE的平分线CF

如图，已知边长为2的正方形ABCD，P是BC边上一点，E是BC边延长线上一点，过点P作PF⊥AP与∠DCE的平分线CF交于点F．AF与CD交于点G．（1）求证：AP=PF；（2）若AP=AG，试说明PG与CF有怎样的位置关系，并求△APG的面积．

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第1个回答 2015-01-04

（1）证明：在BA边上截取BQ=BP，连接PQ，如图所示：

可得△BPQ为等腰直角三角形，即∠BQP=45°，
∴∠AQP=135°，
又∵CF为直角∠DCE的平分线，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=∠AQP=135°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
∴AB-BQ=BC-BP，即AQ=PC，
∵PF⊥AP，
∴∠APF=90°，
∴∠APB+∠CPF=90°，
又∵∠APB+∠QAP=90°，
∴∠QAP=∠CPF，
在△AQP和△PCF中，
∵

∠QAP＝∠CPF

AQ＝PC

∠AQP＝∠PCF

，
∴△ABP≌△PMF（ASA），
∴AP=FP；

（2）PG与CF有怎样的位置关系是平行，理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
在Rt△ABP和Rt△ADG中，
∵

AP＝AG

AB＝AD

，
∴Rt△ABP≌Rt△ADG（HL），
∴BP=DG，∠BAP=∠DAG，
∴BC-BP=CD-DG，即CP=CG，
∴△PCG为等腰直角三角形，
∴∠GPC=45°，
又∵∠FCE=45°，
∴∠FCE=∠GPC，
∴CF∥GP，
又∵AP=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，即∠PAG=45°，
∴∠BAP=∠DAG=22.5°，
连接AC，如图所示，
可得出CA为∠BCD的平分线，且CP=CG，
∴AC⊥PG，又AP=AG，
∴AN为∠PAG的平分线，
∴∠PAN=∠GAN=22.5°，
显然△ABP≌△ANP≌△ANG≌ADG，
∴AB=AN=AD，BP=PN=GN=GD，
即PG=PN+NG=BP+DG=2BP，
设BP=PN=x，在等腰Rt△PNC中，可得PC=

x，
∴BP+PC=2，即x+

x=2，
解得：x=2

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