第1个回答 2009-06-03
闵行区2008学年第二学期九年级质量调研考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
2．下列函数的图像中，与 轴没有公共点的是
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
3．已知点P（-1，3），那么与点P关于原点O对称的点的坐标是
（A）（-1，-3）； （B）（1，-3）； （C）（1，3）； （D）（3，-1）．
4．如图，已知向量 、 、 ，那么下列结论正确的是
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
5．下列命题中错误的是
（A）矩形的两条对角线相等；
（B）等腰梯形的两条对角线互相垂直；
（C）平行四边形的两条对角线互相平分；
（D）正方形的两条对角线互相垂直且相等．
6．小杰调查了本班同学体重情况，画出了频数分布直方图，那么下列结论不正确的是
（A）全班总人数为45人；
（B）体重在50千克～55千克的人数最多；
（C）学生体重的众数是14；
（D）体重在60千克～65千克的人数占全班
总人数的 ．
二、填空题：（每题4分，满分48分）
7．计算： ____________．
8．在实数范围内分解因式： __________________．
9．函数 的定义域是_______________．
10．方程 的解是_________________．
11．已知正比例函数 （k ≠ 0）的图像经过点（-4，2），那么函数值y随自变量x的值的增大而____________．（填“增大”或“减小”）
12．四张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下放在桌子上，从中随机抽取两张卡片，那么两张卡片上的数字的乘积为偶数的概率是_________．
13．某校随机抽取50名同学进行“世博知识知多少”的调查问卷，通过调查发现其中45人对于“世博”知识了解的比较全面，由此可以估计全校的1500名同学中，对于“世博”知识了解的比较全面的约为_____________人．
14．如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ADHE垂直的棱
共有___________条．
15．化简： _____________．
16．在梯形ABCD中，AD // BC， E、F分别是边AB、CD的中点。如果AD = 5，
EF = 11，那么BC =______________．
17．在Rt△ABC中，∠C =90°，∠A=30°,AB = 8，如果以点C为圆心的圆与边AB相切，那么⊙C 的半径长等于_______________．
18．在△ABC中，∠A = 45°， ，BC = 5，那么AC =____________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
20．（本题满分10分）
解方程： ．
21．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）
某商品根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
每千克售价（元） 38 37 36 35 … 20
每天销售量（千克） 50 52 54 56 … 86
设当单价从38元/千克下调到x元时，销售量为y千克,已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果某商品的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？（利润=销售总金额-成本）
22．（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，满分10分）
如图，点P是∠AOB内的一点，过点P作PC // OB,PD // OA，分别交OA、OB于点C、D，且PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为点E、F．
（1）求证： ；
（2）当点P位于∠AOB的什么位置时，四边形CODP是菱形？并证明你的结论．
23（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）
如图，已知在△ABC中，AB = AC = 8， ，D是边BC的中点，点E、F分在边AB、AC上，且∠EDF =∠B，联结EF．
（1）如果BE = 4，求CF的长；
（2）如果EF // BC，求EF的长．
24．（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题8分，满分12分）
已知二次函数 的图像经过点M（1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式，并求出函数图像的顶点坐标；
（2）已知一次函数 的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，（1）中所求得的二次函数的图像的对称轴与一次函数 的图像相交于点C，并且对称轴与x轴相交于点D．如果 ，求b的值．
25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分，满分14分）
如图，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG．
（1）求证：AP = FP；
（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P与⊙G两圆的位置关系，并说明理由；
（3）当BP取何值时，PG // CF．
闵行区2008学年第二学期九年级质量调研考试
数学试卷参考答案以及评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C；2．A；3．B；4．D；5．B；6．C．
二、填空题：（每题4分，满分48分）
7． ； 8． ； 9． ； 10．x = 2； 11．减小； 12． ；
13．1350； 14．4； 15． ； 16．17； 17． ； 18．1或7．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
解：由① 得 ．………………………………………………………………（2分）
由② 得 ．…………………………………………………………（2分）
解得 ．………………………………………………………………（2分）
所以，原不等式组的解集是 ．…………………………………………（2分）
在数轴上表示不等式组的解集，正确得2分，未去掉端点，扣1分．
20．（本题满分10分）
解：两边同时乘以最简公分母 ，得
．…………………………………………（2分）
整理后，得 ． ………………………………………………（3分）
解得 ， ．………………………………………………（2分）
经检验： 是原方程的增根，舍去； 是原方程的根．……………（2分）
所以，原方程的根是x = 4．………………………………………………………（1分）
21．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）
解：（1）设y与x之间的函数解析式是 （k ≠ 0）．
根据题意，得 …………………………………………（2分）
解得 …………………………………………………（1分）
所以，所求的函数解析式是 ．………………………………（1分）
（2）设这一天的销售价为x元．…………………………………………………（1分）
根据题意，得 ．…………………………（2分）
整理后，得 ．……………………………………（1分）
解得 ， ．………………………………………（1分）
答：这一天的销售价应为33元或50元．…………………………………（1分）
22．（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，满分10分）
证明：（1）∵PC // OB，PD // OA，
∴四边形OCPD是平行四边形，且∠ECP =∠O，∠FDP =∠O． …（1分）
∴PC = OD，PD = OC，∠ECP =∠FDP． ……………………………（1分）
∵PE⊥OA，PF⊥OB, ∴∠PEC =∠PFD = 90°．
∴△PCE∽△PDF．………………………………………………………（1分）
∴ ，即得 ． ………………………………………（1分）
∴ ．……………………………………………………（1分）
（2）当点P在∠AOB的平分线上时，四边形CODP是菱形．……………（1分）
∵当点P在∠AOB的平分线上时，由PE⊥OA,PF⊥OB,得PE = PF．
于是，由△PCE∽△PDF，得 ，即得PC = PD．………（2分）
∵四边形CODP是平行四边形，∴四边形CODP是菱形．…………（1分）
当点P不在∠AOB的平分线上时，可得PE ≠ PF．即得PC ≠ PD．
∴当点P不在∠AOB的平分线上时，四边形CODP不是菱形．……（1分）
23（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）
解：（1）联结AD．
∵AB = AC = 8，D是边BC的中点，∴AD⊥BC．………………………（1分）
在Rt△ABD中， ，∴BD = CD = 5．……………………（1分）
∵∠EDC =∠B +∠BED =∠EDF +∠CDF，∠EDF =∠B，
∴∠BED =∠CDF．…………………………………………………………（1分）
∵AB = AC，∴∠B =∠C．
∴△BDE∽△CFD．∴ ．………………………………………（1分）
∵BE = 4， ．………………………………………………………（1分）
（2）∵△BDE∽△CFD，∴ ．………………………………………（1分）
∵BD = CD，∴ ．…………………………………………………（1分）
又∠EDF =∠B，∴△BDE∽△DFE．∴∠BED =∠DEF．………………（1分）
∵EF // BC，∴∠BDE =∠DEF．……………………………………………（1分）
∴∠BDE =∠BED．∴BE = BD = 5．………………………………………（1分）
于是，由AB = 8，得AE = 3．
∵EF // BC，∴ ．…………………………………………………（1分）
∵BC = 10，∴ ．即得 ．……………………………………（1分）
24．（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）
解：（1）∵二次函数 的图像经过点M（1，0），
∴ ．……………………………………………………………（1分）
∴m = -3．……………………………………………………………………（1分）
∴所求函数的解析式是 ．…………………………………（1分）
又 ，∴顶点坐标是（2，1）．………………（2分）
（2）由（1）得二次函数图像的对称轴是直线x = 2，∴D（2，0）．…………（1分）
由题意得，A( ,0)、B（0，b）、C（2，4 + b）．……………………（2分）
∵对称轴直线x = 2与y轴平行，
∴△AOB∽△ADC．…………………………………………………………（1分）
∴ ，即 ．………………………………（1分）
解得 ， ．……………………………………………………（2分）
经验证， ， 都是满足条件的m的值．
25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分，满分14分）
（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH．
由正方形ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD．……（1分）
∵∠APF = 90°，∴∠APF =∠B．
∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC，
∴∠PAH =∠FPC．………………………………………………………（1分）
又∵∠BCD =∠DCE = 90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE = 45°．
∴∠PCF = 135°．
又∵AB = BC，AH = PC，∴BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°．
∴∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF．………………………………（1分）
在△AHP和△PCF中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF，
∴△AHP≌△PCF．∴AP = PF．………………………………………（1分）
（2）解：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．
延长CB至点M，使BM = DG，联结AM．
由AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG，
得△ADG≌△ABM，即得AG = AM，∠MAB =∠GAD．………………（1分）
∵AP = FP，∠APF = 90°，∴∠PAF = 45°．
∵∠BAD = 90°，∴∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°．（1分）
于是，由AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP，
得△APM≌△APG．∴PM = PG．
即得PB + DG = PG．………………………………………………………（2分）
∴⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切．……………………………………（1分）
（3）解：由PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°．…………………………………（1分）
于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°．
∴PC = GC．即得DG = BP．………………………………………………（1分）
设BP = x，则DG = x．由AB = 2，得PC = GC = 2 – x．
∵PB + DG = PG，∴PG = 2 x．
在Rt△PGC中，∠PCG = 90°，得 ．……………（1分）
即得 ．解得 ．………………………………………（1分）
∴当 时，PG // CF．………………………………………（1分）