弓形面积计算公式
可不可以这么算：
画一个一模一样的弓形，把两个弓形拼成一个椭圆，再按照椭圆面积计算公式（长半轴a×短半轴b×π）算出椭圆的面积，然后除以2是不是就是弓形的面积了？
传统的方法（好像太麻烦了）：
第1个回答 2022-07-06
我按照你的想法，画一个一模一样的弓形，把两个弓形拼接，
结果却不是椭圆，所以暂时不能用椭圆计算公式吧？
说明：已知R为弧的半径；L为弧长；C为弦长；H为弦高，我还是习惯用这个公式
劣弧弓形面积=0.5[RL-C(R-H)] 或者说=扇形面积 - 三角形面积=RL /2 - C(R-H) /2
第2个回答 2021-10-10
弓形面积公式(area formula of the segment of a circle)是平面几何的基本公式之一，用来计算弓形面积的公式。把弓形弧两端与圆心连结得一个扇形和一个三角形，当弓形弧为劣弧时，弓形面积等于扇形面积减去三角形面积；当弓形弧为优弧时，弓形面积等于扇形面积加上三角形面积
基本介绍
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么:
当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形-S△AOB(A、B是弧的端点，O是圆心)。
当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端点，O是圆心)。
计算公式分别是:
当弧 是劣弧时， 。
当弧 是半圆时， 。
当弧 是优弧时， 。
其中， 为弧对应的角度， 为半径， 为弦长， 为三角形的高。
l为弧长，h'为弓形的高。
证明：
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图1 劣弧（左）和优弧（右）
通常，弓形是一个扇形减去一个三角(劣弧弓)或一个扇形加上一个三角(优弧弓)。观察三角形，可以发现这是一个等腰三角。它的两个腰是扇形的半径。弓形的弦长和三角形的底或者说三角形除去两个腰以后的第三条边相同。对劣弧弓来说，三角的高h加上弓形的高h'就是扇形半径；扇形的半径r减去弓形的高h等于三角形的高h
而扇形的面积计算可以采用。而在三角形中，弓形的弦和三角型的高线以及弓形半径正好构成一个直角三角形。这样就有或 (勾股定理)
其中，左式适用于劣弧弓，右式则适用于优弧弓。左式展开得。右式展开得。可以看出左右两式完全一致。从中得出
对于劣弧弓，其三角形面积是；对于优弧弓，其三角形面积是
对于劣弧弓面积，就是展开后
优弧弓面积是展开后得
仔细观察劣弧弓和优弧弓面积的展开式。可以发现两者完全一样。
把前面求出的r值代入得
通分，得，分子中，第一，第三项提取公因子，第二、四项提取公因子则分子部分变成。这样，整个式子就成了。证明完毕。
在不知道或者不能测定弓形半径的时候可以使用这个式子计算弓形面积。
广义弓形面积公式
由一条圆弧和经过该弧的两个端点的弦所围成的图形叫做圆弓形，通常也叫做弓形。
更一般地，把曲线和弦所围成的图形叫做弓形。例如，抛物线和弦所围成的图形AOC (图2)，古希腊阿基米得曾求得了这一抛物线弓形的面积的公式：对于弓形AOC，过弦AC的中点作弓形弧所在抛物线的对称轴的平行线，和抛物线交于点B，则弓形AOC面积= 4/3△ABC面积[2] 。
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图2 广义弓形面积公式
参考资料
[1] 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第一卷．北京：中国科学技术出版社，2002：第184页
[2] 王文才，施桂芬．数学小辞典．科学技术文献出版社，1983年02月第1版：第100页
基本介绍
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么:
当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形-S△AOB(A、B是弧的端点，O是圆心)。
当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端点，O是圆心)。
计算公式分别是:
当弧 是劣弧时， 。
当弧 是半圆时， 。
当弧 是优弧时， 。
其中， 为弧对应的角度， 为半径， 为弦长， 为三角形的高。
l为弧长，h'为弓形的高。
证明：
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图1 劣弧（左）和优弧（右）
通常，弓形是一个扇形减去一个三角(劣弧弓)或一个扇形加上一个三角(优弧弓)。观察三角形，可以发现这是一个等腰三角。它的两个腰是扇形的半径。弓形的弦长和三角形的底或者说三角形除去两个腰以后的第三条边相同。对劣弧弓来说，三角的高h加上弓形的高h'就是扇形半径；扇形的半径r减去弓形的高h等于三角形的高h
而扇形的面积计算可以采用。而在三角形中，弓形的弦和三角型的高线以及弓形半径正好构成一个直角三角形。这样就有或 (勾股定理)
其中，左式适用于劣弧弓，右式则适用于优弧弓。左式展开得。右式展开得。可以看出左右两式完全一致。从中得出
对于劣弧弓，其三角形面积是；对于优弧弓，其三角形面积是
对于劣弧弓面积，就是展开后
优弧弓面积是展开后得
仔细观察劣弧弓和优弧弓面积的展开式。可以发现两者完全一样。
把前面求出的r值代入得
通分，得，分子中，第一，第三项提取公因子，第二、四项提取公因子则分子部分变成。这样，整个式子就成了。证明完毕。
在不知道或者不能测定弓形半径的时候可以使用这个式子计算弓形面积。
广义弓形面积公式
由一条圆弧和经过该弧的两个端点的弦所围成的图形叫做圆弓形，通常也叫做弓形。
更一般地，把曲线和弦所围成的图形叫做弓形。例如，抛物线和弦所围成的图形AOC (图2)，古希腊阿基米得曾求得了这一抛物线弓形的面积的公式：对于弓形AOC，过弦AC的中点作弓形弧所在抛物线的对称轴的平行线，和抛物线交于点B，则弓形AOC面积= 4/3△ABC面积[2] 。
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图2 广义弓形面积公式
参考资料
[1] 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第一卷．北京：中国科学技术出版社，2002：第184页
[2] 王文才，施桂芬．数学小辞典．科学技术文献出版社，1983年02月第1版：第100页
第3个回答 推荐于2017-11-26
计算弓形面积时，先算出扇形面积与三角形的面积，不需要推导公式，但计算时应注意：（1）当弓形弧是劣弧时，S弓形＝S扇形－S三角形；（2）当弓形弧是优弧时，S弓形＝S扇形＋S三角形．1．半径为R的圆的面积公式是S＝pai R2．2．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积公式是S扇形＝(n/360)pai R2．3．若扇形的弧长为l，扇形的半径为R，则扇形的面积公式是S扇形＝(1/2)lR本回答被网友采纳
第4个回答 2019-12-11
弓形面积是属于扇形面积里面的。扇形是由一个弓形和一个三角形组成的，你只要拿求得的扇形面积减去求得的三角形面积就可以了。
第5个回答 2019-06-30
先假设弓形角小于180度
设半径为R，拱高为h，弦长为a
则有R^2=(R-h)^2+(a/2)^2
解出R，然后就可以由sin(A/2)=a/2R
求出弓形角A是多少度
然后由弓形面积公式S=(A/360)*πR^2即可求出弓形面积
设半径为R，拱高为h，弦长为a
则有R^2=(R-h)^2+(a/2)^2
解出R，然后就可以由sin(A/2)=a/2R
求出弓形角A是多少度
然后由弓形面积公式S=(A/360)*πR^2即可求出弓形面积
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