已知f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1]，若f(x)的定义域或值域为R，分别求a的取值范围

Question

如题所述

Answer 1

定义域为R，即真数部分大于0恒成立；
真数为(a²-1)x²+(a+1)x+1，只有常数函数或二次函数可以恒大于0；
常数函数：a²-1=0，且a+1=0，得：a=-1；
二次函数：则开口向上，与x轴无交点；
所以：a²-1>0，得：a<-1或a>1；
△=(a+1)²-4(a²-1)<0，即-3a²+2a+5<0，即：3a²-2a-5>0，即：(3a-5)(a+1)>0；
得：a<-1或a>5/3；
两个取交集为：a<-1或a>5/3；
综上，实数a的取值范围是：a≦-1或a>5/3；

2.
因为f(x)的值域为R，则(a^2-1)x^2+(a+1)x+1必须能够取遍所有正实数，
即（0，＋无穷）必须是函数y＝(a^2-1)x^2+(a+1)x+1的值域的子集，
1）当a^2-1＝0即a＝1或-1时
1°a＝1时，符合题意；
2°a＝-1时，不符合题意。
2）当a^2-1不等于0时
a^2-1＞0且△≥0，
解得1＜a≤5/3
综上所得，a的范围是1≤a≤5/3