若0<X<派/2,比较x、sinx、tanx的大小。

Question

求详解。^-^

Answer 1

解：

方法很多，这里用最直观的单位圆法，如下图：

 点C是弧度x与单位圆O的交点，过点C做CD⊥OA于D，过A点做AB⊥OA于A，OC交AB于B，则：

方法一：

OA=OC=1，则易知：

CD<弧长AC<AB

sinx=CD/OC

因此：

CD=sinx

弧长AC=x

tanx=AB/OA=AB

综上：

tanx>x>sinx

方法二：

易知：S(Rt△OAB)>S(扇形OAC)>S(△OAC)

S(Rt△OAB)=OA×AB/2=(tanx)/2

S(扇形OAC)=x/2

S(△OAC)=OA×CD/2=(sinx)/2

因此：

(tanx)/2 > x/2 > (sinx)/2

于是：

tanx>x>sinx

Answer 2

解答：

利用三角函数线，

则正弦线MP=sinx

    弧AP=x

    正切线AT=tanx

连接AP

则△OPA的面积<扇形OAP的面积<△OTA的面积

∴ (1/2)*|OA|*MP<(1/2)*|OA| 弧AP<(1/2)*|OA|*AT

∴ MP<弧AP<AT

∴  sinx<x<tanx 

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