2012年河北数学中考倒数第二题

Question

如图，A（-5,0），B（-3,0）。点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°。点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒。
（1）求点C的坐标
（2）当∠BCP=15°时，求t的值
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值

Answer 1

解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=根号 3 ，此时t=4+根号3 ；

②当点P在点B左侧时
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3根号3
t=3+3根号3
综上，……
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，

从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；

③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，

∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．

Answer 2

（1）∵∠CBO=45°，∴CO=BO=3.∴C（0,3）
（2）当∠BCP=15°时，P在点B右侧时，t=4+根号3；P在点B左侧时，t=4+3倍根号3
（3）与BC边相切时，t=1，此时，PC⊥BC.
与DC边相切时，t=4，此时，PC⊥DC,P与原点O重合.
与DA边相切时，t=5.6，此时，PC=PA,∴OC²+OP²=(OA-OP)²，3²+OP²=（5-OP)²，∴OP=1.6，∴t=5.6
综上，t=1或,4，或5.6时，与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切

Answer 3

【答案】解1∵∠BCO=∠CBO=45° ∴OC=OB=3 又∵点C在y轴的正半轴上 ∴点C的坐标为0,3„„„„„„„„„„„„2分 2当点P在点B右侧时如图2. 若∠BCP=15°得∠PCO=30°故OP=OCtan30°=3 此时34t„„„„„„„„„„„„4分 当点P在点B左侧时如图3由. ∠BCP=15°得∠PCO=60° 故PO=OCtan60°=33 此时t=4+33 ∴t的值为4+3或4+33„„„„„„„„„„„„6分 3由题意知若⊙P与四边形ABCD的边都相切有以下三种情况 ①当⊙P与BC相切于点C时有∠BCP=90°从而∠OCP=45°得到OP=3此时t=1„„„„„7分 ②当⊙P与CD相切于点C时有PC⊥CD即点P与点O重合此时t=4„„„„„„„„„„„8分 ③当⊙P与AD相切时由题意∠DAO=90° ∴点A为切点如图4 2229tPAPC  224tPO于是   222349tt解得t=5.6 ∴t的值为1或4或5.6