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解:⑴探究:12,15,84
⑵SΔABC=1/2*BC*AH=84,SΔABD=1/2Xm,SΔBCD=1/2Xn,
又SΔABC=SΔABD+SΔBCD,
∴1/2X(m+n)=84,m+n=168/X.
设AC边上的高为h,∵SΔABC=1/2AC*h=15/2h=84,∴h=56/5,
由垂线段最短知:X最小就是h,D在AC上,最大就是BC,
∴56/5≤X≤14。
从m+n=168/X知,X最小时,m+n最大,反之X最大时,m+n最小。
∴当X=56/5时,m+n最大为168/(56/5)=15,
当X=14时,m+n最小为168/14=12。
⑶问题转化为作图的唯一性:
①当X=56/5时,这个X为垂线段最短,线段唯一;
②当56/5<X≤13时,以B为圆心,X为半径画弧与线段AC有两个交点;
③当13<X≤14时,以B为圆心,X为半径画弧与线段AC只有一个交点。
∴X=56/5或13<X≤14。
发现:所在的直线最小值为.56/5
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