我来帮你解这道题,如下:
解:(1)∵f(x)是奇函数
∴f(x)= - f(-x) , 即f(x) + f(-x) = 0
∴loga(1-mx)/(x-1) + loga(1+mx)/(-x - 1) = 0
∴[ (mx-1)/(x-1) ] * [ (1+mx)/(x+1) ] = 1 ,即 m^2*x^2 - 1=x^2 - 1,得1 - m^2=0;∴m=-1 或m=1
其中m=1不符合题意,舍去。
当m= - 1时,f(x)的定义域为(1+x)/(x-1) > 0,即 x E (-∞,- 1) U (1,+∞) .
又f(x)= - f(x),∴m= - 1符合题意
(2)∵f(x)=loga(1+x)/(x-1)
f(x)= [ (x-1)/(x+1) ]*[ (1+x)/(x-1) ]*loga e = [ (x-1)/(x+1) ]* { [(x-1)-(x+1)]/(x-1)^2 }*loga e
= [2/(1-x^2) ] * loga e
*若a > 1,则loga e > 0
当x E (1,+∞) 时,1-x^2 < 0, ∴f(x) < 0,f(x)在(1,+∞)上单调递减,即(1,+∞)是f(x)的单调递减区间;从而根据奇函数的性质,(-∞,-1)也是f(x)的单调递减区间 。
**若0 < a < 1,则loga e < 0
当 x E (1,+∞)时,1 - x^2 < 0 ,∴ f(x) > 0,即 x E (1,+∞)是f(x)的单调递增区间;从而(-∞,-1)是f(x)的单调递增区间 。
(3)设 t =(1+x) / (x-1) =1 + 2/(x-1) ,则t为x的减函数
当x E (r,a-2)亦在(1,+∞) ,即当r < a-2时,有a > r + 2 ,且t E (1 + 2/(a-3),+∞) ,要使f(x)的值域为(1,+∞),则必需满足 r=1 且loga (1 + 2/(a-3))= 1, 由此求得a=2+√3 。
追问为什么r=1?