用夹逼定理求lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)

Question

如题所述

Answer 1

首先观察，√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]，它在n→∞时于1/2，而1/n→0。这里并没有出现类似“0^0”“1^∞”的极限不定式，因此可以猜测lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)＝1。
要用夹逼定理证明这个结论，只需要证明√(n^2+n)-n在两个常数之间（这时再给它们加个1/n次方，再取极限，就都是1了）。
而√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]单增，故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2，分析完毕。
证明：
由于√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]单增，
故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2

[√(2)-1]^(1/n)＜[√(n^2+n)-n]^(1/n)＜(1/2)^(1/n)

故1＝lim(n→∞)[√(2)-1]^(1/n)≤lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)≤lim(n→∞)(1/2)^(1/n)＝1
即有lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/2)＝1.