关于向量组的秩

Question

设矩阵A的秩为r，任取A的列向量组的一个极大无关组a1,a2......ar，设B=(a1,a2........ar),在B中任取r个线性无关的行向量，则知由它们组成的r阶子式不为0
我不明白为什么要在B中取r个线性无关的行向量，而不是任取r个行向量。

Answer 1

因为由a1,a2......ar是极大无关组可知R(B)=r,于是知道B一定有至少一个r阶子式不为零.
在行向量中如果任取r个,而不是取线性无关的r个,是完全可以得到0子式的.
举个例子吧,考虑3个4维列向量:a1=(1,0,0,0)^T,a2=(0,1,0,0)^T,a3=(0,0,1,0)^T,它们线性无关,但显然不是任取3个行向量,所得的3阶子式都为非零吧.你就取第2,3,4行就可以得到一个0子式了.

Answer 2

当 r 个行向量中存在某两个行向量线性相关时，则“由它们组成的r阶子式不为0”的结论不能成立，因为必然所有r阶子式全为 0 （∵这时 r 个行向量组成的矩阵的秩 小于 r ）。所以，不能“任取 r 个行向量”。（“列 无关”不一定 “行 无关”）追问

那么对于矩阵A(n*n)若A的列向量组线性无关，则秩A=n，便可推知A的行向量组也线性无关。但对于矩阵B（m*n），m>n,若B的列向量组线性无关，则秩B=n,可推知B的行向量组线性相关。所以要在B中挑出n个线性无关的行向量才能组成一个值为0的n阶子式。但对于A，它就没有这一选择过程，因为A行向量组的线性无关必然成立。所以才会有对于n个n维向量构成的向量组A，诺其中的向量线性无关，则有|A|不为0，对吧?

追答

“对于矩阵A(n*n)若A的列向量组线性无关，则秩A=n”是不对的。我已经说过 列无关 不一定 行无关。必须 行 列 全都无关，才能说 n阶方阵的秩为n。

追问

可事实上有这样的推论：对于n个n维向量构成的向量组A，诺其中的列向量线性无关，则有|A|不为0。我明白问题出哪了，是因为从B=(a1,a2........ar)中任取r行，所组成矩阵的列向量不一定也是线性无关，所以才要在行向量上动手脚。对于所有的n*n方形矩阵，只要证明它的列秩（行秩）等于n，就可知其行秩（列秩）也为n，及该矩阵的秩为n。该矩阵的行列式值不为0。