向量组的秩

Question

跪求高人解答

1.为什么说矩阵的秩等于向量组的秩？怎么给与证明？

2.向量组的最大无关组和向量组本身等价。

这里的等价指的是什么？能否给出例子

3.向量组的任两个最大无关组等价

这是什么意思？

Answer 1

1. 这不是一个证明。因为矩阵的秩的定义就是行向量的秩。在有些教材中，也把矩阵的秩定义为列向量的秩。所以很多书上都给出了这两个定义的等价性。我可以给你一点直观的启发。（1，1，2，3）和（2，1，1，1）这两个向量是线性无关的，所以如果将它们合成为4X2的矩阵，那么秩就是2，这是行向量的秩序。如果看列向量，那么就有（1，2），（1，1），（2，1），（3，1）四个列向量。但是在二维空间中，最多有两个线性无关的向量，所以列向量的秩还是2.

2. 这里的等价就是能否互相线性表示的意思。比如说（1，1），（1，0）这两个向量和（2，0），（0，1）这两个向量等价，因为（2，0）=1×（1，1）+1×（1，0），即（2，0）可以由前面两个向量线性表示。由于这两组向量可以互相线性表示，所以等价。最大无关组就是可以线性表示向量组中所有向量的最少的向量（精华向量），所以当然和本身等价。

3. 等价是可传递的，既然两个最大无关组都和向量组本身等价，所以他们两个也等价。

Answer 2