线性代数向量怎么乘？

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，有两种常见的向量相乘方式，分别是点积（内积）和叉积（外积）。
1. 点积（内积）：
- 定义：对于两个 n 维向量 A = (a1, a2, ..., an) 和 B = (b1, b2, ..., bn)，它们的点积（内积）定义为以下公式：
A · B = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn
- 结果：点积的结果是一个标量（即一个实数），表示了两个向量之间的相关性。具体来说，它是两个向量在相同方向上的分量的乘积之和。
- 性质：
- 交换律：A · B = B · A
- 分配律：A · (B + C) = A · B + A · C
2. 叉积（外积）：
- 定义：对于三维空间中的两个向量 A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，它们的叉积（外积）定义为以下公式：
A × B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
- 结果：叉积的结果是一个新的向量，垂直于原来两个向量所在的平面。它的长度等于两个向量所在平面的面积，并且方向由右手定则确定。
- 性质：
- 反交换律：A × B = - (B × A)
- 分配律：A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
需要注意的是，点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。两个向量相乘的具体公式取决于所采用的乘法规则（点积或叉积），并且向量的长度和方向都会影响最终结果。