介值定理的证明如下
介值定理也可以使用非标准分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证。
介值定理的历史
对于上面的u=0，该声明也称为博尔扎诺定理。
这个定理在1817年被伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）首次证明。奥古斯丁-路易·柯西在1821年提供了一个证据。两者的灵感来自于对约瑟夫·路易斯拉格朗日函数的分析正式化的目标。连续函数具有中间值的想法早有起源。
西蒙·斯蒂文通过提供用于构造解的十进制扩展的算法，证明了多项式的介值定理（以立方为例）。该算法迭代地将间隔细分为10个部分，在迭代的每个步骤产生一个附加的十进制数字。在给出连续性的正式定义之前，将介值作为连续函数定义的一部分。
支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），没有跳跃的函数满足介值定理，并且具有尺寸对应于变量大小的增量。早期的作者认为结果是直观的，不需要证明。
博尔扎诺和柯西的观点是定义一个连贯性的概念（就柯西案中的无限小数而言，在博尔扎诺案中使用实际的不平等），并提供基于这种定义的证据。
反介值定理是错的
“Darboux函数”是具有“介值属性”的实值函数f，即满足介值定理的结论：对于f的域中的任何两个值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之间有一些c，f（c）=y。介值定理说每个连续函数都是一个Darboux函数。但是，并不是每个Darboux功能都是连续的；即介值定理的相反是错的。
历史上，这个介值属性被建议为实数函数连续性的定义，但这个定义没有被采纳。
Darboux定理指出，由某些区间上某些其他函数的区分产生的所有函数都具有介值属性（尽管它们不需要连续）。
介值定理的应用
介值定理是数学分析中最基本的原理之一，但是它只对一维情形成立。
定理意味着，在世界各地的任何一个大环境中，对于温度，压力，高程，二氧化碳浓度来说，如果是连续变化的，那么总是会存在两个与该变量相同值的对映点。
对于任何封闭的凸n（n>1）尺寸形状。具体来说，对于其领域是给定形状的任何连续函数，以及形状（不一定是其中心）内的任何点，相对于函数值相同的给定点存在两个对象点。证明与上述相同。
这个定理也是为什么旋转摇摆表将使其变得稳定的解释（受到某些容易遇到的限制）。
特殊情况
如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0(a<ξ<b)，则符合零点定理。
连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点。特别地，如果A与B异号，则连续曲线与x轴至少相交一次。