已知三角形ABC和三角形ECD为等边三角形，B，C，D在同一直线上 （1）求角AMB的度数 （2）

Question

求证MC平分角BMD
（3）求证BM=AM+CM

Answer 1

此题好解

1。=60度

2和3还是等下班用电脑作答吧!

解：（1） （如图）

∵∠ACD=∠ACE＋∠ECD=60°＋60°=120°

   ∠BCE=  ∠ACE＋∠ACB=60°＋60°=120°

∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

AC=BC         CD=CE           ∠ACD=∠BCE   

∴  △ACD ≌△BCE

∴∠1=∠3

∵∠AMB=∠1＋∠2

                =∠3＋∠2

               =∠4=60°

  ∴  ∠AMB= 60°

（2）求证MC平分角BMD

证明：∵∠1=∠3

            ∴M、C、D、E四点共圆（线段两端点在同侧张等角，则四点共圆）

            ∴∠5=∠6=60°

同理可证：∠7=∠8=60°

 ∴∠7=∠5

即MC平分∠BMD

（3）求证BM=AM+CM

证明：（如图）

 将△ACM绕正三角形ABC的顶点A，按顺时针方向旋转60°

则∠1=∠2

∵∠3=∠2

∴B、C、M、A四点共圆（CM线段两端点在同侧张等角）

∴∠4=∠5（在同圆中，同弦所对的圆周角相等）

又∵AB=AC

     ∠1=∠2

∴△ABM'≌△ACM

即△BCM经旋转后到达△ABM'的位置

∴BM'=CM     ①                AM'=AM     

∵经旋转60°后∠M'AM=60°

∴△AM'M是正三角形

∴M'M=AM                   ②

∵BM=BM'+M'M           ③

将  ① 和 ②代入 ③

最终得到：BM=AM+CM

Answer 2

1、解：
∵等边△ABC、等边△ECD
∴AC＝BC，DC＝EC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝60
∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠ACE+∠ACB
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE （SAS）
∴∠CAD＝∠CBE
∴∠BMD＝∠BAD+∠ABE＝∠BAC+∠CAD+∠ABE＝∠BAC+∠CBE+∠ABE＝∠BAC+∠ABC＝120
∴∠AMB＝180-∠BMD＝60
2、证明：过点C作CP⊥BD于P，CQ⊥AE于Q
∵△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，S△ACD＝S△BCE
∵CP⊥BD，CQ⊥AE
∴S△ACD＝AD×CQ/2，S△ABC＝BE×CP/2
∴AD×CQ/2＝BE×CP/2
∴CQ＝CP
∴MC平分∠BMD
3、在BM上取点N，使MN＝CM，连接CN
∵MC平分∠BMD
∴∠BMC＝∠BMD/2＝60
∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝120
∵MN＝CM
∴等边△CMN
∴CM＝CN＝MN，∠CNM＝60
∴∠BNC＝180-∠CNM＝120
∴∠BNC＝∠AMC
∴△BCN≌△ACM （AAS）
∴BN＝AM
∵BM＝BN+MN
∴BM＝AM+CM

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