求大神解答高中一道数学题！

Question

若a，b∈R，且4≤a^2+b^2≤9，则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是————

Answer 1

解答1：∵（a+b）2≥0或（a-b）2≥0，∴-（a2+b2）≤2ab≤a2+b2，
∵4≤a2+b2≤9，进而可得-9≤2ab≤4，
解可得，-9/2≤ab≤2，∴-2≤-ab≤9/2，
∴-2+4≤a2-ab+b2≤9/2+9，即2≤a2-ab+b2≤27/2.
∴所求的最大值与最小值之和是：2+27/2=31/2
答案应为：31/2

解答2：4≤a^2+b^2≤9

分别以a,b为横纵坐标,则上式表示的是一个圆环,圆心在坐标原点,内园半径为2,外园半径为3

4-ab≤a^2-ab+b^2≤9-ab

当a,b在内圆上,且a=b=√2时,ab=2最大,则4-ab的最小值为2;

当a,b在外圆上,且a=-b=3√2/2时,ab=-9/2最小,则9-ab的最大值为13.5;

∴最大值与最小值之和是15.5

解答3：由于条件给出了a^2+b^2这个东西的范围，所以考虑用三角换元（乘上一个半径r）。实际上，如果把a和b分别看成x和y，画在坐标系里，范围就是一个圆环。
三角换元之后，就代进去化简求最值啦。

令a=rcosx,b=rsinx(2<=r<=3)
则原式=r^2-r^2sin(2x)/2=r^2(1-sin(2x)/2)
所以最大值在r=3,sin(2x)=1时取到，为3^2(1+1/2)=27/2
最小值在r=2,sin(2x)=-1时取到，为2^2(1-1/2)=2
和为31/2

Answer 2

解：∵（a+b）2≥0或（a-b）2≥0，∴-（a2+b2）≤2ab≤a2+b2，
∵4≤a2+b2≤9，进而可得-9≤2ab≤4，
解可得，-9/2≤ab≤2，∴-2≤-ab≤9/2，
∴-2+4≤a2-ab+b2≤9/2+9，即2≤a2-ab+b2≤27/2.
∴所求的最大值与最小值之和是：2+27/2=31/2
答案应为：31/2

Answer 3

答案是15.5
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