求数学大神帮忙解答一道高中数学函数难题

Question

已知函数f(x)=alnx+bx(a,b€R)在x=1/2处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直
(1)求实数a,b的值
(2)若对任意的x€[1,+00),不等式f(x)<=(m-2)x-m/x恒成立，求实数m的取值范围
纯手打，麻烦帮忙解答，我不知道怎么分情况和转化

Answer 1

（1）f(x) = alnx+bx
f'(x) = a/x + b
在x=1/2处取得极值，即f'(1/2) = 0，也就是：b = -2a

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直，即f'(1) = -1，也就是：a + b = -1
联立求解得：a = 1 b = -2

（2）令F(x) = (m-2)x-m/x -f(x) = (m-2)x-m/x -lnx + 2x = mx - m/x - lnx
F(1) = 0
不等式f(x)<=(m-2)x-m/x恒成立，意味着F(x)单调增，即：

F'(x) = m + m/x^2 - 1/x > 0
所以：m > x/(1+x^2)
又因为：x€[1,+00)

所以 m > 1/2

答题不易，请及时采纳，谢谢！