用还原法 设 tan x=t 所以 dt=1/cos^2x dx ∵t属于[0,1]∴ x∈[0,π/4]带入①有
=∫[0,π/4] 1/cos^2x * x/tanx dx
=∫[0,π/4] x/(sinx*cosx) dx
=∫[0,π/4] 2x/(sin2x) dx 二倍角公式 2sinx*cosx=2x
设 t=2x 带入有
=∫[0,π/2] t/(sint) dt追问
=∫[0,π/4] 1/cos^2x * x/tanx dx
=∫[0,π/4] x/(sinx*cosx) dx
=∫[0,π/4] 2x/(sin2x) dx 二倍角公式 2sinx*cosx=2x
设 t=2x 带入有
=∫[0,π/2] t/(sint) dt追问
前面的1／2呢？
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第1个回答 2014-12-19
令左边的t=tanx,则x∈[0,π/4]，左边=
∫(上限π/4，下限0) (x/tanx)d(tanx)=∫(上限π/4，下限0) [x/(sinxcosx)]dx
=∫(上限π/4，下限0) [x/((sin2x)/2)]dx，再另2x=u，进行一次换元，就可以变成右边了。
注意换元的时候积分上下限也要进行相应的变化。
∫(上限π/4，下限0) (x/tanx)d(tanx)=∫(上限π/4，下限0) [x/(sinxcosx)]dx
=∫(上限π/4，下限0) [x/((sin2x)/2)]dx，再另2x=u，进行一次换元，就可以变成右边了。
注意换元的时候积分上下限也要进行相应的变化。
第2个回答 2014-12-19
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