求解一个高中数学三角函数题

Question

如题所述

Answer 1

已知向量λ=(sinwx,coswx)，向量μ=(m, √2)(m>0,w>0)，记函数f(x)=向量λ*μ，其图像相邻的两条对称轴x=-3π/4，x=π/4，与其图像交于P,Q，且|PQ|=√(16+π^2)
（1）求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值
（2）在⊿ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，C=π/3，c=3，f(A-π/4)+f(B-π/4)=4√6sinAsinB
求⊿ABC的面积
（1）解析：∵向量λ=(sinwx,coswx)，向量μ=(m, √2)(m>0,w>0)
函数f(x)=向量λ*μ=msinwx+√2coswx，
设cosθ=m/√(m^2+2)，sinθ=√2/√(m^2+2)
∴f(x)= √(m^2+2)sin(wx+θ)
∵f(x)二相邻对称轴为x=-3π/4，x=π/4，与其图像交于P,Q，且|PQ|=√(16+π^2)
∴T/2=π/4+3π/4=π==>T=2π==>w=2π/T=1
(T/2)^2+(2A)^2=|PQ|^2==>(π/4+3π/4)^2+(2A)^2=16+π^2==>A=2
∴√(m^2+2)=2==>m=√2==> sinθ=√2/2==>θ=π/4
∴f(x)=2sin(x+π/4)
单调递增区：2kπ-π/2<=x+π/4<=2kπ+π/2==>2kπ-3π/4<=x<=2kπ+π/4（k∈Z）
∴f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为f(π/4)=2
(2)解析：∵在⊿ABC中，C=π/3，c=3，f(A-π/4)+f(B-π/4)=4√6sinAsinB
f(A-π/4)+f(B-π/4)=2sinA+2sinB=4√6sinAsinB
由正弦定理得2(a+b)= 4√6ab==>a^2+b^2+2ab=24(ab)^2
由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC==>a^2+b^2=9+ab
∴24(ab)^2-3ab-9=0==>ab=(1+√97)/16
∴S(⊿ABC)=1/2absinC=(1+√97)√3/64