设点M（m，0）在椭圆 x 2 16 + y 2 12 =1 的长轴上，点P是椭圆上任意一点

Question

设点M（m，0）在椭圆 x 2 16 + y 2 12 =1 的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当 MP 的模最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为
x
2
16
+
y
2
12
=1
，故-4≤x≤4．
因为
MP
=(x-m，y)
，所以
|
MP
|
2
=(x-m
)
2
+
y
2
=(x-m
)
2
+12×(1-
x
2
16
)
推出
|
MP
|
2
=
1
4
x
2
-2mx+
m
2
+12=
1
4
(x-4m
)
2
+12-3
m
2
．
依题意可知，当x=4时，
|
MP
|
2
取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，即-4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．