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A平方等于E的充分必要条件是
设A是n阶方阵,求证:A^2=
E的充分必要条件是
r(E A) r(E-A)=n r(E+A...
答:
证明:
必要
性:若A^2=
E
,则(A-E)(A+E)=0,于是rank(A-E)+rank(A+E)=rank(A+E-(A-E))=n于是rank(E+A)+rank(E-A)=n
充分
性:考虑(E+A 0) 用行列变换 ---(E+A,0)--(E+A,E+A)--( (E-A^2) 0 ) (0 E-A) (E+A,E-A) (E+A,...
设A为对称矩阵,证明A为正交矩阵
的充
要
条件为
A^2=
E
答:
必要性:若A为正交矩阵,则ATA=E (AT表示A的转置)又A为对称矩阵,故AT=A 所以 A^2=E
充分性:若A为对称矩阵,即AT=A,且 A^2 =E 所以 ATA=A^2=E 故A为正交矩阵。
证明。若
A的平方
=B的平方=E,则(AB)的平方=
E的充分必要条件是
A与B...
答:
<=方向是显然的 =>方向:因为(AB)^2=E 即:A(BAB)=E 所以A的逆=BAB 又因为A^2=E 所以A的逆=A 所以A=BAB 两边左乘B 得到 BA=BBAB BB=E 所以 BA=AB A的逆就
是A的
逆矩阵 难道你不知道?那是不可能的吧 这些都是最基本的,你就这么做就行了 ...
...
E是
n阶单位阵,求证:ABA=B^-1
的充分必要条件是
答:
ABA
是
逆当且仅当ABAB = E,即(AB)^2 =
E
。
充分
性:记C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考虑下述的分块矩阵用一系列初等变换:E+C 0 0 E-C E+C E-C 0 E-C 2E E-C E-C E-C 2E E-C 0 E-C - (E-C)(E-C)/2 2E 0 0 E-C...
...存在元素
为
整数的n阶方阵B,使得AB=
E的充
要
条件是
?为什么
答:
(=>)
必要
性 因为 AB=
E
所以 |A||B|=|E|=1.又因为 A,B的元素都
是
整数 所以 |A|,|B| 都是整数 所以 |A| = ±1.(<=)
充分
性 因为|A|=±1≠0 所以 A 可逆, 且 A^-1 = (1/|A|) A* = ± A 由 A* 的结构知其元素都是整数, 令B=±A 则 AB=E.
如果A=1/2(B+
E
),证明
A的平方
=A
的充分必要条件是
B的平方=E
答:
必要
性:A=1/2 (B+
E
) =>
A平方
=1/2 A(B+E)=1/2AB+1/2A;因为
什么
条件
下A×
A的
转置
等于E
答:
从正交矩阵的定义来看, n阶方阵A正交
的充分必要条件是
A^TA=
E
。
求向量组
A的
秩
的充分必要条件是
什么
答:
其充要
条件为
,"
A的
行列式值为1或-1,并且R(E-A)+R(E+A)=n.”理由:下面仅证明
条件的必要
性:因为A=A^-1;所以显然A的行列式值为1或-1.且A^2=E^,故有(E-A)*(E+A)=0;那么不妨设R(E-A)=r,并设有方程(E-A)*X=0(其中X是n维列向量)显然可知,X的解向量有n-r组线性无...
设n阶方阵A、B满足A=1/2(B+
E
),证明A^2=A成立
的充
要
条件是
B^2=E
答:
参考
充分条件
A^2=AA^2=0.5(B+E)*0.5(B+E)=0.25(B+E)(B+E)=0.25(B^2+2B+E)=0.5(B+E)B^2+2B+E=2(B+E) 得 B^2=
E必要条件
A=0.5(B+E)得2A-E=B 两侧都乘以自身(2A-E)(2A-E)=B^24A^2-4A+E=B^2=E 得4A^2-4A=O(0矩阵)得A^2=A...
设A为m×n矩阵,证明方程AX=Em有解
的充分必要条件为
r(A)=m
答:
充分
性:当r(A)=m时,则
A是
行满秩的,A多添任一列向量组成的增光矩阵还是行满秩的,即有r(A ei)=m,其中ei是单位阵的第i列,于是方程Ax=ei有解bi,令X=【b1 b2 ... bm】,则AX=
E
。
必要
性:若AX=E有解,则m=r(Em)=r(AX)<=r(A)<=m,于是r(A)=m ...
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