求向量组A的秩的充分必要条件是什么

Question

如题所述

Answer 1

其充要条件为，"A的行列式值为1或-1，并且R(E-A)+R(E+A)=n.”
理由：下面仅证明条件的必要性：
因为A=A^-1;
所以显然A的行列式值为1或-1.
且A^2=E^,
故有（E-A）*（E+A）=0;
那么不妨设R(E-A)=r，并设有方程(E-A)*X=0(其中X是n维列向量)
显然可知，X的解向量有n-r组线性无关，那么又因为方阵(E+A)可看做是n组X的解向量组成，所以R(E+A)=n-r；
所以R(E-A)+R(E+A)=n。
得证