特征值性质λ^m是矩阵A^m的特征值 如何证明？

Question

如题所述

Answer 1

由于AX=λX

因此A^mX=A^(m-1)AX=A^(m-1)λX=λA^(m-1)X

=……

=λ^mX

因此λ^m是A^m的特征值。

当然利用矩阵的Jordan标准型，结论更显然。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

扩展资料：

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

在A变换的作用下，向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特征向量，λ是对应的特征值（本征值）,是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。

参考资料来源：百度百科——特征值

Answer 2

λ是A的特征值，设X是其对应的一个特征向量。即 AX=λX

则 A^m(X) = A^(m-1) (AX)
=A^(m-1) (λX)
=λA^(m-1)(X)
=λA^(m-2) (AX)
=λ²A^(m-2)(X)
...
=λ^mX

这说明 λ^m是A^m特征值，对应的一个特征向量还是X。本回答被提问者采纳

Answer 3

由于AX=λX
因此A^mX=A^(m-1)AX=A^(m-1)λX=λA^(m-1)X
=……
=λ^mX
因此λ^m是A^m的特征值 。

当然利用矩阵的Jordan标准型，结论更显然。