证明：当x＞0时，e的x次方大于1+x

Question

如题所述

Answer 1

方法一（求导法）
令f(x)=e^x -x -1
f'(x)=e^x -1
∵x>0,∴e^x>e^0=1,∴f'(x)>0
∴函数f(x)为增函数
又lim(x→0)f(x)=0
∴f(x)>0

方法二（利用拉格朗日中值定理）
令f(t)=e^t,f'(t)=e^t
f(x)-f(0)=e^x -1=f'(θx)x(0<θ<1)
即e^x -1=e^(θx) x
∵x>0,0<θ<1
∴θx>0
∴e^(θx)>e^0=1
∴e^x-1=e^(θx) x>x

Answer 2

设f(x)=e^x-x-1
则f(0)=e^0-0-1=1-1=0
f'(x)=e^x-1，当x>0时，f'(x)﹥e^0-1=0
所以f(x)在x>0时单调增，又因为f(0)=0
所以在x>0时，f(x)>0，所以e^x>x+1

Answer 3

方法一（求导法）
令f(x)=e^x-x-1
f'(x)=e^x-1
∵x>0,∴e^x>e^0=1,∴f'(x)>0
∴函数f(x)为增函数
又lim(x→0)f(x)=0
∴f(x)>0
方法二（利用拉格朗日中值定理）
令f(t)=e^t,f'(t)=e^t
f(x)-f(0)=e^x-1=f'(θx)x(0<θ<1)
即e^x-1=e^(θx)x
∵x>0,0<θ<1
∴θx>0
∴e^(θx)>e^0=1
∴e^x-1=e^(θx)x>x

Answer 4

y=e^x-x-1
y′=e^x-1 当x>0 时 e^x>e^0
所以函数是增函数
又f(0)=e^0-1=1-1>=0
所以当x>0时 f(x)>0
所以e^x-x-1>0
e^x>1+x

Answer 5

f(x)=e^x-1-x
f'(x)=e^x-1
当x