证明：e的x次方大于1+x

如题所述

推荐答案 2012-04-11

泰勒公式

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第1个回答 2012-04-11

令f(x)=exp(x)-x-1,则f(x)的导数为exp(x)-1,
当x>=0时，f(x)的导数大于等于0，
当x<0时，f(x)的导数小于0，
所以f(x)在x<0为减函数，在x>0为增函数，
又因为当x=0时，f(x)=0，
所以x为任意值时f(x)>=0，
即exp(x)-x-1>0,
也就是exp(x)>=1+x.

第2个回答 2012-04-11

令f（x）=e∧x-1-x
求导f’（x）=e∧x-1 x大于0是大于0 x小于0是小于0 f’（0）=0
所以f（x）在R上的最小值是f（0）=0
∴e∧x≥1+x

相似回答

当x不等于0时,证明:e的x次方大于1+x答：x=0取到最小值 f(x)>f(0)=0 所以 e^x>1+x

高数证明e^x大于等于1+x(x大于等于0)答：分析e^x -1-x ,其导数 = e^x-1，当x=0时，导数=0，x>0时，导数>0，x< 0时，导数< 0 ,所以函数e^x-1-x在x=0时取最小值0，其余均>0.所以e^x>=1+x。本方法不仅证明了x>=0时，e^x>=1+x,而且证明了x为全体实数时，e^x>=1+x。

当x不等于0时,求证e的x次幂大于1+x答：设：f(x)=(e^x)－(1＋x) 【e^x：表示e的x次幂】,则：f'(x)=(e^x)－1 当x≥0时,f'(x)>0,则f(x)在x>0时递增,当x0即：e^x>1＋x 当x≠0时,e^x>1＋x

数学证明题e(的x次方)>1+x (x≠0) (急,可追加10分)答：当x<0时，f(x)=1+x-e^x f'(x)=1-e^x>0 所以f(x)在（-∞,0)上是增函数，所以任取x<0得到f(x)<f(0)=0 所以任取x<0，得到1+x-e^x<0,1+x<e^x

证明下列不等式e的x方大于一加x答：证明：令 f(x)=e^x-(1+x)，则 f '(x)=e^x-1，令 f '(x)=0，则 x=0 ，当x<0时，f '(x)<0，当x>0时，f '(x)>0，因此，f(x)在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，所以对任意x≠0，有 f(x)>f(0)，即 e^x-(1+x)>0，因此，e^x>1+x。

设x>0,证明e的x次方>1+x答：解：e^x>x+1 设 y1=e^x y2=x+1 从以上两个函数图像来看，当 x>0，y1=e^x 的图像总位于 y1=x+1 的图像的上方。以上表明：只要 x>0 ，e^x > 1+x 恒成立。

证明:当x>0时,e的x次方大于1+x答：方法一（求导法）令f(x)=e^x -x -1 f'(x)=e^x -1 ∵x>0,∴e^x>e^0=1,∴f'(x)>0 ∴函数f(x)为增函数又lim(x→0)f(x)=0 ∴f(x)>0 方法二（利用拉格朗日中值定理）令f(t)=e^t,f'(t)=e^t f(x)-f(0)=e^x -1=f'(θx)x(0<θ<1)即e^x -1=e^(...

用拉格朗日中值定理证明不等式e的x次方>1+x(x不等于0)?答：设f(t)=e^t,当x>0时,在[0,x]上f(t)满足拉格朗日中值定理条件於是存在ξ∈(0,x),使f'(ξ)*(x-0)=f(x)-f(0)即e^ξ*x=e^x-1 又因为ξ>0,所以e^ξ>e^0=1 所以e^x-1=e^ξ*x>x,即e^x>1+x 当x<0时同理可证 ...

若x不等于0 证明e^x大于1+x答：当x<=0, f'(x) <=0；当x>=0,f'(x)>=0。所以f(x)在(-∞, 0]上递减，在 [0, -∞)上递增。故在x=0处取最小值。f(x) > f(0) = 0 因此e^x > 1+x

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