本题若是求不定积分,则是不可能的,
因为被积函数的原函数是不可能用初等函数表示的。可以用变上限的定积分来表示:
F(x)=∫_0^x e^(-t^2)dt.
若是求0到正无穷,或负无穷到正无穷的无穷限广义积分,则可用如下的方法计算。
设D1:{(x,y)|x^2+y^2<=R^2,x>=0,y>=0},D2:{(x,y)|0<=x<=R,0<=y<=R},D3={(x,y)|x>=0,y>=0.x^2+y^2<=R*根下2}. 则
∫∫_(D1)e^(-x^2-y^2) dxdy<=∫∫_(D2)e^(-x^2-y^2) dxdy<=∫∫_(D3)e^(-x^2-y^2) dxdy
而∫∫_(D2)e^(-x^2-y^2) dxdy=∫_0^R e^(-x^2) dx ∫_0^R e^(-y^2) dy=[∫_0^R e^(-x^2) dx ]^2
在D1上的积分用极坐标计算得:
∫∫_(D1)e^(-x^2-y^2) dxdy=∫_0^(2π)dθ∫_0^R e^(-r^2)rdr=π[1-e^(-R^2)]
∫∫_(D3)e^(-x^2-y^2) dxdy=∫_0^(2π)dθ∫_0^(R*根下2) e^(-r^2)rdr=π[1-e^(-2R^2)]
于是π[1-e^(-R^2)]<=[∫_0^R e^(-x^2) dx ]^2<=π[1-e^(-2R^2)]
上式取极限(R-->+∞) ,利用挟逼定理得[∫_0^R e^(-x^2) dx ]^2=π
于是∫_0^(+∞)R e^(-x^2) dx=根下π。 于是
∫_(-∞)^(+∞)R e^(-x^2) dx=2倍的根下π.
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