函数f(x)=(sinx)^3,求定积分值

Question

如题所述

Answer 1

定积分值= -π/3 +π= 2π/3。

解题过程如下：

∫x *(sinx)^3 dx

=-∫ x *(sinx)^2 d(cosx)

= ∫ x *(cosx)^2 -x d(cosx)

而显然

∫ x *(cosx)^2 d(cosx)

=1/3 *∫ x d(cosx)^3

= x/3 *(cosx)^3 -∫1/3 *(cosx)^3dx

= x/3 *(cosx)^3 -∫1/3 *(cosx)^2 d(sinx)

= x/3 *(cosx)^3 -∫1/3 -(sinx)^2 /3 d(sinx)

= x/3 *(cosx)^3 -1/3 *sinx +1/9 *(sinx)^3

∫-x d(cosx)

= -x *cosx +∫cosx dx

= -x *cosx +sinx

二者相加得到

∫x *(sinx)^3 dx

= x/3 *(cosx)^3 +2/3 *sinx +1/9 *(sinx)^3 -x *cosx

代入上下限π和0，

定积分值= -π/3 +π= 2π/3

扩展资料

“定积分”的简单性质有：

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。

性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。

性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。

性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。

性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a)  (a<b)。