求(sinx)三次方的不定积分

Question

∫ (sinx)^3 dx = ∫ (sinx)^2 sinx dx
= ∫ (1-(cosx)^2) (-1) d(cosx)
= - cosx +1/3 (cosx)^3 + C
第一步没看懂，自变量怎么变成cosx了？

Answer 1

(sinx)三次方的不定积分是- cosx +1/3 (cosx)^3 + C。

sin³x=sin²xsinx

sin²x=1-cos²x

cosx的微分即dcosx=-sinxdx

所以∫sin³x=-∫(1-cos²x)dcosx

^^∫(sinx)^3 dx = ∫ (sinx)^2[ sinx dx ]

= ∫ -(sinx)^2 dcosx ( dcosx = -sinxdx)

= ∫ (1-(cosx)^2) (-1) d(cosx) ( (sinx)^2 = 1-(cosx)^2)

= - cosx +1/3 (cosx)^3 + C

所以(sinx)三次方的不定积分是- cosx +1/3 (cosx)^3 + C。

扩展资料：

求不定积分的方法：

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

Answer 2

∫(sinx)^3dx

=∫(sinx)^2sinxdx

=∫(1-(cosx)^2)(-1)d(cosx)

=-cosx+1/3(cosx)^3+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

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Answer 3

这样跟你说哦，f(x)的导数是dy/dx,表示y对x的变化率，，而dy表示的在x的变化率极小时y的变化量的一个极限，一个非常接近y的变化量的数，这两个数代表的东西不一样，如果还是不理解看看高等代数第一册的函数的微分，那个微分定义的部分。

Answer 4

d(cosx)=-sinx
所以∫(-sinx)dx=∫dcosx
所以∫sinxdx=∫-d(cosx)追问

谢谢 问个题外话。因为积分这块我是自学，不明白为什么不定积分的表达式里要有“dx”？为什么不将f（x）的不定积分只写成∫ f（x）？为什么知道dx可以参与运算，否则此题无解？

追答

定积分就是先分成n个小长方形，然后加起来
若n趋于无穷时就是定积分
不定积分是一个道理

追问

.......不懂

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Answer 5

sin³x=sin²xsinx
sin²x=1-cos²x
cosx的微分
即dcosx=-sinxdx
所以∫sin³x=-∫(1-cos²x)dcosx追问

谢谢 问个题外话。因为积分这块我是自学，不明白为什么不定积分的表达式里要有“dx”？为什么不将f（x）的不定积分只写成∫ f（x）？为什么知道dx可以参与运算，否则此题无解？