求函数的极限：lim(1^n+2^n+3^n+4^n)^1/n,当n→∞时的极限。(不用夹逼准则解)

Question

如题所述

Answer 1

n→∞
lim(1^n+2^n+3^n+4^n)^(1/n)
=e^lim[(1/n)*ln(1^n+2^n+3^n+4^n)]
下面求lim[(1/n)*ln(1^n+2^n+3^n+4^n)]
=lim(1/n)*ln{(4^n)*[(1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n+1]}
=lim(1/n)*{nln4+ln[1+(1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n]}
这里ln[1+(1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n]等价于(1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n
=ln4+lim[(1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n]/n
=ln4
所以最后结果为e^ln4=4

Answer 2

由中位线性质，所以EF∥AC HG∥AC⇒EF∥HG ; EF=(1/2)AC=2
同样EH∥BD FG∥BD ⇒EH∥FG ; EH=(1/2)BD=3
所以EHGF为平行四边形
因为AC与BD成60°角 且EH∥BD EF∥AC
所以∠FEH为60°角
也就是EFGH是一个 一角为60°,两边长为2,3的平行四边形
所以FM=√(3)
所以S[EFGH]=EH*FM=3√(3)