解方程| |x+3|-2|=k

Question

如题所述

Answer 1

首先k>=0，否则无解。
1)|x+3|-2=k --> |x+3|=2+k--> x+3=2+k or x+3=-2-k--> x=-1+k or -5-k
2)|x+3|-2=-k--> |x+3|=2-k>=0--->k>2时此方程无解，-->0=<k<=2-->x+2=2-k or x+2=k-2-->x=-k or x=k-4
因此，综合得解如下：
k<0,无解
0=<k<=2， 有4个解-1+k, -5-k, -k, k-4
k>2，有两个解：x=-1+k, -5-k

Answer 2

解：当k＜0，原方程无解；
当k=0时，原方程可化为：|x+3|-2=0，
解得x=-1或x=-5；
当0＜k＜2，此时原方程可化为：|x+3|=2±k，
此时原方程有四解：x=-3±（2±k），
即：x=k-1或x=-k-5或x=-k-1或x=k-5；
当k=2时，原方程可化为：|x+3|=2±2，
此时原方程有三解：x=1或x=-7或x=-3；
当k＞2时，原方程有两解：x+3=±（2±k），
即：x=k-1或x=-k-5．
故x=k-1或x=-k-1或x=-k-5或x=-5+k．

Answer 3

分析:要对k分开讨论

解: (i) k < 0, 则方程无解. (绝对值一定为非负数)
(ii) k = 0, 则方程为 | |x+3| - 2| = 0
|x+3| - 2 = 0
|x+3| = 2
∴ x + 3 = ±2
得 x = -1 或 x = -5
(iii) k > 0, 则方程为 | |x+3| - 2| = k
|x+3| - 2 = ±k
|x+3| = k + 2 (k + 2必>0) 或 |x+3| = -k + 2 (令- k + 2 ≧ 0, 才有解)
x + 3 = ±(k + 2) x + 3 = ±(-k + 2)
x = k - 1 或 x = -k - 5 x = -k - 1 或 x = = k - 5 (k ≦ 2)

总结(i), (ii), (iii),得
1. 当 k < 0, 方程无解
2. 当 k = 0, x = -1 或 x = -5
3. 当 0 < k < 2, x = k - 1 或 x = -k - 5 或 x = -k - 1 或 x = = k - 5
4. 当 k = 2, x = -7 或 x = -3 或 x = 1
5. 当 k > 2, x = k - 1 或 x = -k - 5