求积分∫e^(-x^2)dx,积分上限是+∞，下限是0，求高手解出答案并写出详细过程

Question

如题

Answer 1

设A=∫[0,+∞]e^(-x^2)dx
那么A^2=(∫[0,+∞]e^(-x^2)dx)^2=∫∫B e^(-(x^2+y^2))dx B是积分区域x∈[0,+∞),y∈[0,+∞)
对于区域C:{x∈[0,R],y∈[0,R]},有D:{x^2+y^2=R^2}≤C≤E:{x^2+y^2=2R^2}
所以lim[R→+∞]∫∫D e^(-(x^2+y^2))dx≤lim[R→+∞]∫∫C e^(-(x^2+y^2))dx≤lim[R→+∞]∫∫E e^(-(x^2+y^2))dx
所以lim[R→+∞](π/4)*[1-e^(-R^2)]≤A^2≤lim[R→+∞](π/4)*[1-e^(-2R^2)]
所以π/4≤A^2≤π/4(夹逼定理),所以A^2=π/4,所以A=根号π/2追问

写的不清楚啊lim[R→+∞]∫∫D e^(-(x^2+y^2))dx，积分号里面的是什么意思，相乘还是什么，为什么dx后没有dy。从lim[R→+∞]∫∫D e^(-(x^2+y^2))dx是怎么到lim[R→+∞](π/4)*[1-e^(-R^2)]的，D:{x^2+y^2=R^2}≤C≤E:{x^2+y^2=2R^2}
表示的什么样的区域，因为R如果可以正负取值，D不是就比C大了吗

Answer 2

这个函数在工程中经常出现。你要是按一般方法无法得到答案。因为它就是俗称＇存在原函数但原函数不能写出的函数＇中的一个。只有另想办法，相信你有同济六版高数下册，147面到148面有具体解答。本回答被提问者采纳

Answer 3

双重积分+极坐标