一道初二数学几何题，寻求高手解答

Question

如题所述

Answer 1

解：(1) 因为ODEFGH为正六边形，所以∠NOM = 120º， 所以ONBM四点共圆，于是有
∠ONB = ∠OMC，再由OB=OC和∠OBN=∠OCN=30º便可得出△OBN≌△OCM，
所以BN=CM。
(2)由(1)中的结论△OBN≌△OCM，可得四边形OMBN的面积 = △OBC的面积 =3√3.
(3)因为△BNM的面积 + △MON的面积 = 四边形OMBN的面积 =3√3，而BN=CM=x，则
△BNM的面积=√3 /4 * x(6-x)，△MON的面积 = y，所以√3 /4 * x(6-x) + y =3√3.
(4)由△MOC的面积=△MON的面积，可得y=√3 /2 * x，把这个式子带入(2)中得关系式可得
(x-2)(x-6)=0，由已知可得x<6，所以x=2。
因为BA=6，BN=CM=x=2, 所以N点处于BA的三分之一分点处，于是可得NO∥MC。
再由正三角形中心的性质可得NO=NB=MC，所以ONMC为平行四边形。

Answer 2

(1)结论：CM=BN
证明：连接OB
∵O为等等边三角形ABC中心，∴OB=OC，∠BOC=120°
∵ODEFGH为正六边形，∴∠DOH=120°
∠BOC=∠DOH==>∠COM=∠BON
∠OBN=∠OCM
∴⊿COM≌⊿BON
∴CM=BN
(2)解析：由(1) ⊿COM≌⊿BON
∴S(四边形OMBN)=S(⊿OBC)=1/3S(⊿ABC)=1/3*√3/4*6^2=3√3
(3)解析：设CM=x，S(⊿MON)=y
S(⊿MON)= S(四边形OMBN)- S(⊿BNM)
在⊿OMC中，OC=2/3*√3/2*6=2√3
过O作OT⊥BC交BC于T，OT=1/3*√3/2=√3/6
∴OM=√(OT^2+TM^2)= √(1/12+(3-x)^2)
由（1）可知OM=ON
∴S(⊿MON)=1/2*OM*ON*sin120°
∴y=1/4*(1/12+(3-x)^2)
(4)解析：由图示可知，显然当ONMC为平行四边形时S(⊿MON)= S(⊿OMOC)
此时MC=OM=ON
过M作MK⊥OC交OC于K
KO=KC=√3，MK=1，MC=2
∴x=2
即x=2时，S(⊿MON)= S(⊿OMOC)本回答被提问者采纳

Answer 3

提示如下

连接BO,过O作OK垂直BC于K
（1）因ABC为等边三角形，O为中心，则BO=CO，角OBA=角OBC=角OCB=角OCA=30度
角BOC=120度
又ODEFGH为正六边形，则角MON=120度
则角COM=角BON=120度-角MOB
则三角形COM全等BON
则CM=BN
（2）因BON全等COM，则S(BON)=S(COM)
则S(OMBN)=S(BOM)+S(BON)=S(BOM)+S(COM)=S(BOC）
OK=BC/2*tg角OCB=6/2*1/根3=根3
S(OMBN)=BC*OK/2=6*根3*1/2=3根3
(3)MK=BC/2-CM=3-x
OM^=OK^+KM^=3+(3-x)^=x^-6x+12 (^表示平方)
则面积y=OM^sin角MON*1/2=（x^-6x+12）sin120度/2=根3(x^-6x+12)/4
(4)S(MOC)=CM*OK/2=x*根3/2
由根3(x^-6x+12)/4=x*根3/2有x^-8x+12=0得x=2或x=6
当x=6时,M点与B点重合，不合题意，舍去
当CM=2时,OM^=2^-6*2+12=4,OM=2
则CM=OM，则角MCO=角MOC=30度，角OMC=120度
因CM=OM=ON，角MON=角OMC=120度
则三角形MON全等OMC
则MN=OC
又CM=ON
则ONMC为平行四边形

Answer 4

(1)连BO，知∠OBN=∠OCM=30，∠BOC=120=∠BOM+∠MOC,
∠MON=120=∠BOM+∠BON
所以∠MOC=∠BON，又OB=OC
所以△BON≌△COM，即CM=BN
(2)由(1)的结果得知SOMBN=SOBN+SOBM=SOCM+SOBM=1/3SABC
而 SABC =1/2*6*6*sin60=9√3
所以SOMBN=3√3
(3)CM=x，BM=6- x，BN= x，
得SBNM=1/2* x*（6- x）* sin60= x（6- x）√3/4
由(2)结论得x（6- x）√3/4+y=3√3
(4)对△COM而言，O到CM的高不变，因O为中心，设高为h
则知h=1/3*6*sin60=√3
所以SCOM=√3 x/2
由(3)结论则得方程x（6- x）√3/4+√3 x/2=3√3
解这方程得x=2或6，因点M不能与B重合，所以取x=2
则知BN=2，延长OC交AB于I点，知CI⊥AB，NI=1，OI=√3
则ON=2，
sin∠ONI=√3/2，得∠ONI=60
所以ON∥CM，又ON=2=CM
所以四边形ONMC为平形四边形。

Answer 5

(1)CM=BN。连接OB，正六边形每个角=(6-2)*180°/6=120°,则∠DOH=120°，在正△ABC中，∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=180°-30°-30°=20°,∵∠NOB=120°-∠BOM，∠COM=120°-∠BOM，∴∠NOB=∠COM，△NOB≌△COM，∴CM=BN。
(2)延长CO交AB于L，则CL⊥AB，点O到△ABC各边的距离为1/3*√3/2*6=√3，S四边形OMBN=1/2*S△ABC-S△NOL-S△COM=1/2*1/2*√3/2*6*6-1/2*(6/2-BN)*√3-1/2*CM*√3=3√3。
(3)y=S△MON=四边形OMBN-S△NBM=3√3-1/2*√3/2*(6-x)x=3√3-3√3x/2+√3x²/4.
(4)S△MOC=√3x/2，当S△MON=S△MOC时，3√3-3√3x/2+√3x²/4=√3x/2，
3√3-2√3x+√3x²/4=0，x=2，x=6(M不与B、C重合舍去)，CM=BN=2，MN=√(2²+4²-2*2*4*cos60°)2√3=OC，LN=1，ON=√(1+3)=2，则ONMC为平行四形。