一道初中数学几何题

Question

已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F.（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长。（2）求证：ED=BE+FC

说明详细解题过程 谢谢

Answer 1

【分析】

（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=3√3，DC=6，推出AB=DF=3√3，BC=3√3，求出AD=DF=3√3-3即可；

（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案。

【解答】

解：

（1）

∵∠BEC=75°，∠ABC=90°

∴∠ECB=15°

∵∠ECD=45°

∴∠DCF=60°

在Rt△DFC中：

∠DCF=60°，FC=3

∴DF=3√3，DC=6

由题得：

四边形ABFD是矩形

∴AB=DF=3√3

∵AB=BC

∴BC=3√3

∴BF=BC-FC=3√3-3

∴AD=DF=3√3-3

∴C梯形ABCD=3√3×2+6+3√3-3=9√3+3

答：梯形ABCD的周长是9√3+3。

 

（2）

证明：

延长EB至G，使BG=CF，连接CG

 

∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD

∴△BCG≌△FDC

∴∠1=∠2

∵∠2+∠DCF=90°

∴∠1+∠DCF=90°

∵∠DCE=45°

∴∠ECG=45°

∴∠DCE=∠ECG

∴△DEC≌△EGC

∴ED=EG

∴ED=BE+FC

Answer 2

（1）解：因为角ABC=90度
角BEC=75度
角BEC+角ABC+角BCE=180度
所以角BCE=30度
因为角ECD=45度
角ECD+角BCE=角DCF
所以角DCF=60度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角CDF=30度
所以CF=1/2DC
DC^2=CF^2+DF^2
因为CF=3
所以DC=6
DF=3倍根号3
因为角ABC=角DFC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AD=BF
AB=DF
因为AB=BC
所以AB=BC=3倍根号3
因为BC=BF+CF
所以AD=BF=3倍根号3-3
因为梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+DC=3*3倍根号3-3+6=9倍根号3+3
所以梯形ABCD的周长=9倍根号3+3
（2）若角BEC=75度，则结论成立
证明：延长AB，使BG=CF，连接CG
因为角ABC+角GBC=180度
因为角ABC=90度
所以角GBC=90度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角DFC=角ABC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AB=DF
因为角GBC=角DFC
BG=CF
所以直角三角形GBC和直角三角形CFD全等（SAS)
所以CG=CD
角GCB=角CDF
因为角CDF=30度（已证）
所以角GCB=30度
因为角BCE=15度（已证）
所以角GCE=角GCB+角BCE=15+30=45度
所以角GCE=角ECD=45度
因为CE=CE
所以三角形GCB和三角形DCE全等（SAS)
所以DE=GE
因为GE=BG+BE
所以ED=BE+CF

Answer 3

已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．

（2）求证：ED=BE+FC．

考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

专题：计算题；证明题．

分析：（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=33，DC=6，推出AB=DF=33，BC=33，求出AD=DF=33-3即可；

（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案．

解答：解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，

∴∠ECB=15°，

∵∠ECD=45°，

∴∠DCF=60°，

在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，

∴DF=33，DC=6，

由题得，四边形ABFD是矩形，

∴AB=DF=33，

∵AB=BC，

∴BC=33，

∴BF=BC-FC=33-3，

∴AD=DF=33-3，

∴C梯形ABCD=33×2+6+33-3=93+3，

答：梯形ABCD的周长是93+3．

（2）证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，

∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD，

∴△BCG≌△FDC，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠DCF=90°，

∴∠1+∠DCF=90°，

∵∠DCE=45°，

∴∠ECG=45°，

∴∠DCE=∠ECG，

∴△DEC≌△EGC，

∴ED=EG，

∴ED=BE+FC．

点评：本题主要考查对直角梯形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

亲╭(╯3╰)╮，望采纳，请选为满意答案，希望对你有帮助~~

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Answer 4

（1）若∠BEC=75°，则∠ECB=15°那么∠FDC=30°,

则对于直角三角形FDC来说，DC=2FC=6,FD=√3FC=3√3 ,又从图可看出AB=DF,AD=BC-FC

那么按题意可知AB=BC=FD=3√3,AD=BC-FC=3√3-3,DC=6

梯形ABCD周长为6+2*3√3+3√3-3=9√3+3

(2)