函数f(x)=x^2sin(1/x),x!=0 0 , x=0 在x=0处（） A.无极限 B.不连续 C.连续但不可导 D.可导 为什么答案是D

Question

如题所述

Answer 1

f ' (0) = Limit [ ( f(x)-f(0) ) / (x-0) , x->0 ]
= Limit [ x^2 sin(1/x) / x , x->0 ]
= Limit [ x sin(1/x) , x->0 ]
= 0
选 D
注：sin(1/x) 有界，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小， Limit [ x sin(1/x) , x->0 ] = 0追问

这样只能证明该函数是连续的不是吗？f'(x)=x^2sin(1/x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)啊

追答

当 x ≠ 0时, f'(x)=x^2sin(1/x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
当 x = 0时, 用导数定义求
f ' (0) = Limit [ ( f(x)-f(0) ) / (x-0) , x->0 ] =……=0