椭圆的离心率和焦点与向量的综合问题

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为(3^-1)/2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若向量AF=3向量FB，则k=？

Answer 1

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三(√3/2)，过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若向量AF=3倍向量FB，则K=？
【解】
做椭圆右准线，从A、B分别做准线的垂线AM、BN，垂足M、N，
做BD⊥AM，垂足D，
根据椭圆第二定义，
e=|AF|/|AM|,
e=|BF|/BN|,
|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3，
|AM|=3|BN|，
|MD|=|NB|，
|AD|=2|MD|，
|AD|=2|MA|/3，
又因|AF|/|AM|=√3/2，所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,
∴|AD|/|AB|=√3/3,
设直线倾斜角是θ，即有cosθ=√3/3,
所以直线斜率k=tanθ=√2.