证明一下二阶常系数线性微分方程有两个相等实根通解

Question

如题所述

Answer 1

为了理解这里，最好的方式是考虑具体数字。
比如,y''+2y'+1=0.我们可将其写作
(dx+1)(dx+1)y=0,其中dx表示对x求微分，而非微分元素(这里不方便输入分式的微分符号)
注意公式：exp(x)*(dx+1)f=dx(exp(x)f)=[exp(x)f(x)]'
两次使用这个公式，可得:
exp(x)*(dx+1)[(dx+1)f]＝[exp(x)*(dx+1)f]'＝[exp(x)*f]''
也就是说，[exp(x)*f]''＝0，所以exp(x)*f＝Cx+D,f(x)=exp(-x)*(Cx+D)