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Question

如图，四棱锥中S-ABCD中，底面ABCD是棱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD，
（Ⅰ）求证：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积

Answer 1

1
∵ABCD是棱形
∴BD⊥AC
∵SA⊥BD
∴BD⊥面SAC
∴SO⊥BD
∵SA=SC，O是AC中点
∴是·SO⊥AC
∴SO⊥平面ABCD
2
∵SB∥平面APC
∴OF在面SBD内
面SBD∩平面APC=PO
∴SB//PO
∴P是SD中点
∵∠BAD=60°，AB=2
∴BD=2,OD=1
∵SD=2，∴SO=√3
∴VA-PCD
=VP-ACD
=1/2VS-ACD
=1/2×1/3×√3/4×4×√3
=1/2

Answer 2

(1)∵SA⊥BD且AC⊥BD∴BD⊥平面SAC∴BD⊥SO
又∵SA=SC且O为对角线的交点 ∴点O平分AC ∴SO⊥AC
∴SO⊥平面ABCD
(2)∵ABCD对角线的交点为O且SO⊥BD∴SD=SB=BD=2→SO=√3
又∵SB∥平面APC 且SO为四棱锥中S-ABCD的高 ∴三棱锥A-PCD的高/SO=SB/PD→高= （√3 ）除以2 又∵S△ACD=AC*OD/2=√3 三棱锥A-PCD的体积=S△ACD*高/3=1/2=0.5

Answer 3

证明：（1）∵SA=SC ∴SO⊥AC
∵ABCD是棱形∴AC⊥BD，又∵SA⊥BD，且AC∩SA=A，∴BD⊥面SAC
∴SO⊥BD，AC∩BD=0，∴SO⊥平面ABCD
（2）∵ABCD是棱形，且∠BAD=60°，∴AB=BC=CD=AD=BD=2，且BO=OD
且ABCD的面积为：2√3，即ACD的面积为√3
又∵SO⊥BD，OD=1，SD=2，∴SO=√3
∵SB∥平面APC，∴在△SDB中，OP∥SB，又∵O为BD中点，∴P为SD中点
即P点到平面ABCD的距离为√3/2
∴三棱锥A-PCD的体积=三棱锥P-ACD=(√3X√3/2)/3=1 /2

Answer 4

（1）因为sa=sc，o为ac中点，所以so⊥ac
因为ABCD是菱形，AC与BD为对角线，所以ACBD
又因为SA⊥BD，所以BD⊥面ASO，所以BD⊥SO
BD交AC于O，所以SO⊥平面ABCD