高斯概率密度函数公式

Question

如题所述

Answer 1

高斯概率密度函数公式是由单变量正态分布、多元正态分布组成的。

单变量高斯分布：

单变量高斯分布概率密度函数定义为：

p(x)=12πσ√exp{12(xμσ)2}

式中μμ为随机变量xx的期望，σ2σ2为xx的方差，σσ称为标准差：

μ=E(x)=∫∞∞xp(x)dx、

σ2=∫∞∞(xμ)2p(x)dx，

可以看出，该概率分布函数，由期望和方差就能完全确定。高斯分布的样本主要都集中在均值附近，且分散程度可以通过标准差来表示，其越大，分散程度也越大，且约有95%的样本落在区间(μ2σ,μ+2σ)。

多元高斯分布：

多元高斯分布的概率密度函数。多元高斯分布的概率密度函数定义：

p(x)=1(2π)d2|Σ|12exp{−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}

其中x=[x1,x2,...,xd]Tx=[x1,x2,...,xd]T是dd维的列向量；
μ=[μ1,μ2,...,μd]Tμ=[μ1,μ2,...,μd]T是dd维均值的列向量；
ΣΣ是d×dd×d维的协方差矩阵；
Σ−1Σ−1是ΣΣ的逆矩阵;
|Σ||Σ|是ΣΣ的行列式；
(x−μ)T(x−μ)T是(x−μ)(x−μ)的转置，且

μ=E(x)

Σ=E{(x−μ)(x−μ)T}(2.3)(2.3)Σ=E{(x−μ)(x−μ)T}

其中μ,Σμ,Σ分别是向量xx和矩阵(x−μ)(x−μ)T(x−μ)(x−μ)T的期望，诺xixi是xx的第ii个分量，μiμi是μμ的第ii个分量，σ2ijσij2是∑∑的第i,ji,j个元素。则:

μi=E(xi)=∫∞−∞xip(xi)dxi