达布（Darboux）定理（导函数的介值定理）
若函数f在[a,b]上可导，且
，k为介于
和
之间的任一实数，则至少存在一点
，使得
。
五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步
1、Rolle定理的推论：若f在[
，
]上连续，在(
，
)内可导，
，则存在
，使得
（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。
2、Lagrang定理的推论：
推论1
若函数f在区间I上可导，且
，
，则f为I上的一个常量函数。
几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。
简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有：
，
（2）在
上恒有：
推广：若f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b）中除有限个点外有
，则f在I上是常数函数。
推论2
若函数f和g均在I上可导，且
，
，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C，使得
。
推论3
（导数极限定理）设函数f在点
的某邻域
内连续，在
内可导，且
存在，则f在点
可导，且
。
应用一：关于方程根的讨论（存在性）――主要应用Rolle定理
例1：设f为R上的可导函数，证明：若方程
没有实根，则方程f(x)=0至多只有一个实根。
例2：设f
，在
连续可微，在（a,b）二阶可微，且
，证明：
在(a,b)中至少有一个根。
例3；已知
，证明：
至少有一正实根。
例4：设
，证明
于（0,1）中至少有一根。
例5：设
，在（0,1）可导，证明：若f(0)=f(1)=0，则在（0,1）内存在一点
，使得
。
例6：设f在[a,b]（a>0）上连续；在(a,b)内可导，则存在
(a,b)，使得f(b)-f(a)=
。
例7：设
，证明：
满足
。
应用二：用中值定理证明公式
例1：证明：对一切h>-1，h≠0有公式
例2：证明：当a>b>0时，
。
例3：证明：
，
。
例4：设f在[0,a]一阶连续可微，在(0,a)二阶可微，且存在正数M使
，又设f在(0,a)存在稳定点c，证明：
。
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