9、如图，AD是△ABC的中线，∠A=90度，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF。试猜想线段BE、CF、EF的关系并加以证明.
证明：
延长AD至P，使AD=DP
连接BP,CP,延长FD和ED分别交BP,CP于H,G
连接EH,HG,GF
点D为AP,BC中点
易证四边形ABPC为平行四边形
∠A=90度
那么ABPC为矩形
AB‖PC
∠ABC=∠PCB
BD=CD
∠BDE=∠CDG
△BDE≌△CDG
BE=CG
ED=DG
ED⊥DF
那么△EFG是等腰三角形（等腰三角形三线合一性质）
EF=FG
在RT△FCG中
FC²+CG²=FG²
FC²+BE²=EF²
10、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝AD，∠CAD＝30°。求∠DCB ∠DBC的度数
解：等腰RT△ABC中
∠ABC=∠BCA=45度
等腰△ACD中
∠ACD=∠ADC=(180-30)/2=75度
∠DCB=45+75=120度
∠BAC=90度
∠BAD=90+30=120度
AB=AD
∠ABD=∠ADB=（180-120）/2=30度
∠DBC-∠ABD=45-30=15度
11、
（1）证明：
设CF、DE交于点O
AE=DF
∠A=∠ADC=90
AD=CD
RT△DAE≌RT△CDF
DE=CF
∠ADE=∠DCF
∠DCF+∠DFC=90
∠DFC+∠ADE=90
那么
∠DOF=90
DE⊥CF
(2)证明：
过点N，P分别做
NE⊥AB,PF⊥ BC,垂足分别为E,F
NE，PF交于点G
设PQ,MN交于点O
PQ,NE交于点H
很明显
NE⊥PF
∠PGN=90
PQ=MN
PF=NE
RT△PQF≌RT△NME
∠MNE=∠QPF
∠PHG=∠NHO
所以
∠PGH=∠PON
∠PGH=90
∠PON=90
所以
PQ⊥MN
12、在梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后梯形PQCD是等腰梯形？
解：设t秒以后PQCD是等腰梯形
那么腰PQ²=CD²=AB²+(BC-AD)²=14²+3²=205
过P做PE⊥BC，垂足为E
PE=AB=14cm
PD=18-t
QE=[2t-(18-t)]/2=(3t-18)/2
PE²+QE²=PQ²
14²+(3t-18)²/4=205
(3t-18)²=36
3t-18=6或3t-18=-6
t=8或t=4（不合题意，舍去）
8秒后梯形PQCD是等腰梯形
13、在△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°。求证：AC=½AB
证明：过点D做DE∥AC
点D为中点
所以
E为AB中点
DE=1/2AC
AC=2DE
DE∥AC
所以∠EDA=90度
在RT△EDA中
∠BAD=30度
那么DE=1/2AE
AE=1/2AB(E为中点，已证）
DE=1/4AB
1/2AC=1/4AB
AC=1/2AB
14、平行四边形ABCD,对角线DB的垂直平分线分别相交DC于E,AB于F，请问四边形DEFB是平行四边形吗，是菱形吗？分别详细证明。
证明：设BD的中点为O
AB‖CD
∠FBD=∠BDE
∠BOF=∠DOE
OB=OD
△BOF≌△DOE
BF=DE，OF=OE
BF‖DE
四边形DEBF是平行四边形
OF=OE
EF垂直平分BD，BD垂直平分EF，可知平行四边形DEBF是菱形
15、∠A=90,AB=AC,BD平分∠ABC,CE垂直BD,垂足为E,证BD=2CE
证明：延长CE交BA的延长线于F
BD平分∠ABC
BE⊥CE
那么
△CBF是等腰三角形
E为CF中点
CE=1/2CF
∠BDA=∠CDE
所以
∠ABD=∠ACF(等角的余角相等）
∠BAC=∠CAF
AB=AC
△ABD≌△ACF
BD=CF
CE=1/2BD
BD=2CE
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