a的秩为n
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首先把 a 化简成 [
行阶梯形矩阵],
1)
如果 a 的秩小于 n,则化简后的 a 必然会出现全0行 (因为a的秩 = 化简后非0行的数量)
设 b = (b1 b2 ... bn),x = (x1 x2 ... xn)
则必然会出现 0•x1 + 0•x2 + 0•x3 + ...... + 0•xn = bn (因为最后一行必为全0行)
即 0 = bn
如果 bn 不等于 0,则此式无解
**因此,当 a 的秩小于 n,对任意向量b,
线性方程组 ax=b 可能会无解**
2)
如果 a 的秩等于 n,则化简后的 a 不会出现全0行,那么
xn = bn (最后一行等式)
xn-1 = ...(倒数第二行等式,可根据 bn-1 和 xn 计算出 xn-1)
xn-2 = ...(以此类推,求出 xn-2)
.........
x1 = ... (最后在第一行求出 x1)
**因此,当 a 的秩等于 n,对任意向量b,线性方程组 ax=b 有且有唯一解**
3)
a 的秩不能大于 n,所以得出最后结论:a 的秩等于 n