等差数列与等比数列的混合题型

Question

它们的混合题型很复杂,有什么技巧或解题思路
比如,1/2+3/4+5/8...+2n-1/(2的n次幂) 当n无穷大

Answer 1

S = 1/2+3/4+5/8+7/16+...+2n-1/(2的n次幂) 当n无穷大
1/2S = 1/4+3/8+5/16+...+2n-3/(2的n次幂) +(2的n+1次幂)

第一道式子-第二道式子，可以得到
1/2S＝1/2+（1/2+1/4+1/8+...+1/(2的n-1次幂)）-(2n-1)/(2的n+1次
幂)
中间的括号就是等比数列，用公式求之，再加上前后的常数，因式，化简可得！

解题方法是：用原式乘以原等比数列的公比的倒数，得一新式子，与原式错位相减，可得到答案。不明白的话，可以参考课本里等比数列求和公式的证法

Answer 2

技巧要多做题，多总结。

如你的题目：

S=1/2+3/4+5/8+....+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n

2S=1+3/2+5/4+....+(2n-3)/2^(n-2)+(2n-1)/2^(n-1)

2S-S=1+2/2+2/4+...+2/2^(n-2)+2/2^(n-1)-(2n-1)/2^n

S=1+2[1/2+1/4+....+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^n

=1+2*1/2*[(1/2)^(n-1)-1]/(1/2-1)-(2n-1)/2^n

=1-2[1/2^(n-1)-1]-(2n-1)/2^n

=1-4/2^n+2-(2n-1)/2^n

=3-(2n+3)/2^n本回答被提问者采纳

Answer 3

Sn=1/2+3/4+5/8+7/16+...+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n...①
Sn/2=1/4+3/8+5/16+...+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1)...②
①-②得
Sn-Sn/2=1/2+(3/4-1/4)+(5/8-3/8)+(7/16-5/16)+...+[(2n-1)/2^n-(2n-3)/2^n]-(2n-1)/2^(n+1)
Sn/2=1/2+(2/4+2/8+2/16+...+2/2^n)-(2n-1)/2^(n+1)
Sn/2=1/2+[1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^(n+1)
Sn/2=1/2+{(1/2)·[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)}-(2n-1)/2^(n+1)
Sn/2=1/2+1-1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
Sn/2=3/2-[4/2^(n+1)+(2n-1)/2^(n+1)]
Sn/2=3/2-(2n+3)/2^(n+1)
Sn=3-(2n+3)/2^n

错位相减法
若数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列{anbn},当求数列的前n项和时,常常采用将{anbn}各项乘以{bn}的公比q,并向后错一项与原{anbn}的同次项对应相减的方法.

例:求数列1,2x,3x^2,4x^3,...,nx^(n-1)前n项之和
解:Sn=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1)...①
xSn=x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n...②
①-②得
(1-x)Sn=1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)-nx^n
当x≠1时
(1-x)Sn=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)=[1-(1+n)x^n+nx^n]/(1-x)^2
当x=1时
原式中Sn=1+2+3+...+n=n(1+n)/2