高数。高手进！ an=3/2*∫上为(n/n+1)下为0 x^(n-1)*(1+x^n)^1/2 dx 则 lim(n趋于无...

Question

高数。高手进！
an=3/2*∫上为(n/n+1)下为0 x^(n-1)*(1+x^n)^1/2 dx
则 lim(n趋于无穷大) n*an=?

Answer 1

an=3/2*∫上为(n/n+1)下为0 x^(n-1)*(1+x^n)^1/2 dx
=3/2*∫上为(n/n+1)下为0 1/n*(1+x^n)^1/2 d(x^n+1) (因为d(x^n+1)=n*x^(n-1)dx)
=3/2*{(1/n)*(2/3)*(1+x^n)^(3/2)|[0,n/(n+1)]}
=1/n*(1+(n/n+1)^n)^(3/2)-1/n
所以，lim(n趋于无穷大)n*an=
lim(n趋于无穷大){(1+(1-1/(1+n))^n)^3/2-1}
现在主要是（1-1/(1+n)）^n这部分，变化一下
（1-1/(1+n)）^n=[(1+1/-(1+n))^(-(1+n))]^(-1)*[(1+1/-(1+n))^(-1)]，
当n趋于无穷大时，(1+1/-(1+n))^(-(1+n))=e，(1+1/-(1+n))^(-1)=1；
所以，（1-1/(1+n)）^n=[(1+1/-(1+n))^(-(1+n))]^(-1)*[(1+1/-(1+n))^(-1)]=e^(-1)=1/e;
所以，lim(n趋于无穷大){(1+(1-1/(1+n))^n)^3/2-1}=(1+1/e)^(3/2)-1
即lim(n趋于无穷大)n*an=(1+1/e)^(3/2)-1

Answer 2

在WORD上做了好一阵子，结果粘贴不上，但这个问题很简单，结果是“无穷大”！

Answer 3

看图片

Answer 4

不知道